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II. Differentialrechnung 
1, 2, 3, . . .), so ergibt sich 
Wenn man nun x — 1 — — setzt (w 
log w < a, d. h. -r < e ff . 
Sobald w> ist, haben wir einen Widerspruch. Die Reihe 
1 + 2 + 3^ 
ist also divergent. . . 
Wir sehen, daß die Reihe x —— + -g— • • • überall, wo sie 
konvergiert, die Summe log(l + x) hat. 
Wir wollen jetzt wieder | x | < 1 annehmen. Ersetzt man in (*) x 
durch — X, so ergibt sich 
(**) log (1 — x) = - a: — y — . 
Subtrahiert man (**) von (*), so findet man 
. i-\- x 
lo srrs 
(* + 
x _|_ x _|_ 
(i X | < 1) 
ober, wenn man 
1 4- x rr z — i . 
T=i = f ' al f°*-i+TW 
(Z — 1\ 3 
(***) lo °* - 2 | (i+4) + J (hfl) + i (¡T+l) +•*•)' 
(*-l\ 5 
U + i J 
Diese Gleichung gilt für jedes positive z. Der Bedingung 
I x | < 1 entspricht nämlich die Bedingung z > 0. 
Setzt man in (***) z = (n + 1 ):n, wobei n > 0 sein möge, so 
entsteht die Formel 
(**,) log (n + 1) - log n - 2.{ + | • ■ ■ j • 
Wir wollen zeigen, wie man mit ihrer Hilfe die Logarithmen der 
drei ersten Primzahlen 2, 3, 5 findet. 
Sind n und n -f- 1 zwei ganze Zahlen, die keine andern Prim 
faktoren als 2, 3, 5 enthalten, so ist (***) eine lineare Gleichung mit 
den drei Unbekannten log 2, log 3, log 5. Die rechte Seite läßt sich 
um so bequemer berechnen, je größer n ist. 
Benutzt man z. B. die Zahlenpaare 
15--3-5, 16 = 2 4 , 
24 = 2 3 -3, 25 — 5 2 , 
80 = 2 4 -5, 81 = 3 4 ,