Anwendungen 
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4 « — f= arctg ¿ 9 und « --- arctg * 
Es gibt ein französisches Gedichtchen, mit dessen Hilfe man sich die 
31 ersten Ziffern von n merken kann. Es kantet: 
Que j ; aime a faire apprendre un nombre utile anx sages! 
Immortel Arcbimede, artiste Ingenieur, 
Qui de ton jugement peut priser la valeur! 
Pour inoi ton probleme ent de pareils avantages! 
Ersetzt man hier jedes Wort durch die Anzahl seiner Buchstaben, 
so entstehen die 31 ersten Ziffern von tt. Hinter die erste muß das 
Komma gesetzt werden. 
3. Wir wollen versuchen eine Potenzreihe zu finden, die für alle 
Werte von x die Summe c x hat. Wir benutzen dabei eine berühmte 
von Leibniz herrührende Methode, die Methode der unbestimmten 
Koeffizienten. D. h. wir setzen die Potenzreihe mit unbestimmten 
Koeffizienten an. Es sei also für alle Werte von x 
e x ----- «y + a i% + «s# 2 + • • •• 
Dann folgt nach § 31 
e x = 
a t -f 2a 2 x -f- 3a s x 2 -f- • • •; 
denn e° hat die Ableitung e x . Es muß daher für alle Werte von x 
a i — a o + ( 2 «2 — a i) x + ( 3a s — a i) x<i H 0 
sein. Wir haben hier eine Potenzreihe vor uns, die innerhalb 
ihres Konvergenzintervalles überall die Summe Null hat. 
Es sind dann, wie wir gleich zeigen werden, alle Koeffizienten 
gleich Null. Im vorliegenden Falle müssen also die Gleichungen 
stattfinden: = a 0 , 2a 2 == o lr 3a 3 = a 2 , .... 
Da -- i ist, muß auch a 0 ----- 1 sein, mithin 
( h — lf st 2 — 1*2' 0,3 — 1 •! 
Die Potenzreihe, die wir suchen, lautet also 
Ct-4 1 , di 
1 
12 3' 
+ ••••