Probten: der Quadratur 
87 
Funktion F{x) ist. wie wir sehen werden, eine Stammfunktion 
von f{x). 
F(x -f h) — F(x) ist ein über ix, x + h) stehender Flächenstreifen, 
tvelcher zwischen den beiden Rechtecken hf(£ x ), hfi^ 2 ) enthalten ist, 
wobei fi£ t ) der kleinste und der größte Wert von fix) in dem 
Intervall (x, x -f //) sein soll. Ebenso ist F(x) — F(x — h) ein über 
{x — h, x) stehender Flächenstreisen, der zwischen den beiden Recht 
ecken h fi% 3 ), h fi£ 4 ) enthalten ist, wobei /'(£ 3 ) der kleinste und 
der größte Wert von f(x) in dem Intervall (# — /?, x) sein soll 1 ). 
Es bestehen also folgende Ungleichungen 
Konvergiert nun h nach Null, so konvergieren ij lf £ 2 , s 3 , nach x. 
Wegen der Stetigkeit von fix) konvergieren dann s(^), fi'Q, ]s(l 3 ), 
/’(¿• 4 ) nach f(x). Dasselbe gilt daher von 
F{x -l- h)-F(x) ^ F(x — h) — F(x) 
h 
Daraus ersehen wir, daß F'ix) existiert und den Wert fix) hat. 
Fix) ist also eine Stammfunktion von fix), ein Integral von / (w)ckw. 
Unter allen Stammfunktionen von fix) ist Fix) durch die Eigen 
schaft Fia) ----- 0 ausgezeichnet. Ist <t>ix) irgend ein Integral von 
so unterscheidet sich, wie wir wissen, Fix) davon um eine additive 
Konstante G, b. h. man hat Fix) = O(w) + C. Da nun Fia) ----- 0 
ist, so muß £>(a) 4- C = 0 sein, also 
Statt (P[x)- 0{a) schreibt man gewöhnlich (<&)*. Die letzte Glei- 
chung lautet dann: / r f ^,,S 
1) An der Stelle x=^a braucht man nur den ersten, an der Stelle x = b 
nur den zweiten Flächenstreisen zu betrachten.