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Problem der Rektifikation 
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Der Sehnenzug hat also die Länge 
ypQ-j'oj-«) ]/iT r®- 
Es wird dem Leser sehr plausibel erscheinen, wenn wir sagen, daß 
diese Summe bei unendlicher Verfeinerung der Einteilung, d. h. bei 
unendlicher Verkleinerung aller Teilintervalle (wobei deren Anzahl 
ins Unendliche zunimmt), die Länge S des Bogens ^4-6 
zum Grenzwert hat. Wenn die Seiten des einbeschrie- 
denen Sehnenzuges sehr klein sind, so ist er tatsächlich 
kaum von derKurvezuunterscheiden. 
Die modernen Mathematiker stellen 
sich aber auf einen anderen Stand 
punkt. Sie betrachten den Begriff 
der Bogenlänge nicht als etwas Ge 
gebenes, sondern sie definieren 
ihn, und zwar gerade als Grenzwert 
von XPQ bei unendlicher Verfei- a 
nerung derJntervallteilung. Natür 
lich müssen sie dann die Existenz dieses Grenzwertes beweisen, was 
unter der Voraussetzung eines stetigen f'(x), wie wir sie am Anfang 
gemacht haben, nicht schwer ist. Ähnlich wird der Begriff des Flächen 
inhalts aufgefaßt. Die näheren Ausführungen hierüber findet man 
in meinem Buche „Grundznge der Differential- und Integralrechnung" 
(Leipzig 1909, B. G. Teubner). 
Aus der Formel für 2JPQ läßt sich eine wichtige Aussage über 
die Bogenlänge S herleiten. Wenn wir mit m den kleinsten, mit M 
den größten Wert der Funktion Yl -\-f r \x) bezeichnen (vgl. S. 53), 
die im Intervall (a, h) gleichzeitig mit f\x) stetig ist, so ist XPQ 
offenbar zwischen mZ(ß — a) = m(h — a) und MZ(ß— a) = M[h — a) 
enthalten. Dasselbe gilt also von S, und da eine stetige Funktion alle 
Zwischenwerte annimmt (vgl. S. 54), so wird es in (a, h) eine Stelle § 
geben, für welche die Gleichung 
Cr) ■ s-(&-o)iA +r ! (i) 
stattfindet. Diese bedeutet, nebenbei bemerkt, daß eine gewisse Tan 
gente der Kurve die gleiche Länge über (a, h) hat, wie die Kurve selbst. 
Nun wollen wir statt des ganzen Bogens AB das Stück AX be 
trachten, das dem Intervall («, x) entspricht. Seine Länge ist offen