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IIl. Integralrechnung 
bar eine Funktion von x, die mit s{x) bezeichnet werde. Wenn h ein 
positives Inkrement bedeutet, so stellt s(x -f- /,) — s(x) die Länge des 
Bogenstückes über dem Intervall (x, x + h) dar. Wenden wir dar 
auf die Formel (ch) an, so ergibt sich 
Dabei ist F ein gewisser Wert aus (x, x-fJi). Ebenso stellt s (x)—s (x — h) 
die Länge des Bogenstückes über (x — h, x) dar, und man hat nach 
Formel (t) 9 (x - h) - s jx) _ y ± + 
wobei ein gewisser Wert aus {x—h, x) ist. Im Falle x=a kommt nur 
die erste, im Falle x — h nur die zweite Gleichung in Betracht. Bei 
hinschwindendem h konvergieren und § 2 nach x, die Wurzeln also 
beide nachl/l + f' 2 (x). Damit ist festgestellt, daß s{x) die Ableitung 
]/l + f' 2 (x) hat oder das Differential 
ds(x) = ]/1 + f'\x) • dx — ydx“ -\- dy 2 . 
Man nennt diesen Ausdruck das Bogendifierential der betrachteten 
Kurve. Geometrisch bedeutet er den Tangentenabschnitt PT in Fig. 9 
{Jx ----- dx vorausgesetzt). 
.s(a-) selbst ist dasjenige Integral von ]/l -f • dx, das für 
x ----- n verschwindet. Nach § 35 können wir also schreiben 
s{x) -Jyi + f' 2 (x) ■ dx. 
Insbesondere ist die Länge des Bogens AB 
h 
S =/]/l + f’\*) • dx. 
Die Berechnung einer solchen Bogenlänge wird als Rektifikation be 
zeichnet. 
Bei der Parabel y ----- ~ ist 
ds 2 --- dxx + dy 2 = dx 2 -f .