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I. Abschnitt. Untersuchung von Flächen in Parameterform. 
die Linienelemente der beiden Flächen, so muß nach § 8, (14) 
die Gleichung 
für alle Werte des Verhältnisses du:dv bestehen, d. h. es 
muß 
E=E X , F=F X , G=G 1 
Ist nun die Fläche F 1 in einer anderen Form (mit 
anderen Parametern) gegeben, etwa 
fi K) v x ), y x = c Pl [u x , v x ), z x = xp x (%, v x ), 
so muß es, falls die Fläche auf F abwickelbar ist, 
möglich sein, u x und v x als Funktionen von u und v so zu 
bestimmen, daß die Linienelemente beider Flächen dieselbe 
Form haben. Es gilt also der wichtige 
Satz 1. Zwei Flächen F und F x sind dann, und 
nur dann, ineinander deformierbar, wenn sich die 
der einen Fläche (etwa F x ) so als 
Funktionen der Parameter u, v der anderen Fläche 
bestimmen lassen, daß, bei Einführung dieser Funk 
tionen in den Ausdruck für das Linienelement von 
F x , dieses Linienelement mit dem von F überein 
stimmt, oder kurz, wenn die beiden Differential 
formen, welche die Linienelemente von F und F x 
darstellen, ineinander transformierbar sind. 
Wann diese Funktionen überhaupt bestimmbar sind, 
und wie sie gefunden werden, dies wird, wie schon oben 
bemerkt, erst später untersucht werden. Hier soll noch eine 
andere wichtige Frage erledigt werden, nämlich: welche 
Größen bei einer Verbiegung der Fläche sich nicht 
ändern. Diese werden Biegungsinvarianten genannt. 
Geometrisch folgt ohne weiteres aus der Definition der Ver 
biegung, daß hierbei der Winkel, unter dem sich zwei be 
liebige Flächenkurven schneiden, und ebenso die Länge 
irgend eines Kurvenbogens auf der Fläche ungeändert 
bleiben. Daher bleibt auch die kürzeste Verbindungslinie 
zweier Flächenpunkte nach der Deformation die kürzeste 
Linie, d. h. die geodätischen Linien bleiben bei der Ver 
biegung erhalten. Man sieht ebenfalls ein, daß die geodä-