LIVRE III.
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face d’un
; moitié du
r sommet
rayon du
ira égale à
’ la moitié
est égale
du cercle
PROPOSITION XXXIII.
THÉORÈME.
Dans tout quadrilatère inscrit ABCD, le rectangle des % i35.
deux diagonales AC, BD, est égal à la somme des rectan
gles des côtés opposés, de sorte quon a
AC X BD = AB X CD+AD X BC.
Prenez l’arc CO=AD, et tirez BO qui rencontre la dia
gonale AC en I.
L’angle ABD=CBI, puisque l’un a pour mesure la moitié
de AD, et l’autre la moitié de CO égal à AD. L’angle ADB=
BCI, parce qu’ils sont inscrits dans le même segment AOB ;
donc le triangle ABD est semblable au triangle IBC, et on a
la proportion AD;CI::BD:BC ; d’où résulte ADXBC=
CI XBD. Je dis maintenant que le triangle ABI est semblable
au triangle BDC ; car l’arc AD étant égal à CO, si on ajoute
de part et d’autre OD, on aura l’arc AOr=:DC; donc l’angle
ABI=DBC; de plus l’angle BAImBDC, parce qu’ils sont
inscrits dans le même segment; donc les triangles ABI,DBG,
sont semblables, et les côtés homologues donnent la propor
tion AB : BD : : AI ; CD ; d’où résulte AB x CD == AI X BD.
Ajoutant les deux résultats trouvés, et observant que
AIXBD+CIXBD=(AI+CI)XBD=:ACXBD, on aura
AD X BC +-AB X CD=AC X BD.
Scholie. On peut démontrer de la même maniéré un au
tre théorème sur le quadrilatère inscrit.
Le triangle ABD semblable à BIC, donne la proportion
BD:BC:: AB:BI, d’où résulte BIxBD=;BCxAB. Si on.
joint CO, le triangle ICO, semblable à ABI, sera semblable
à BDC , et donnera la proportion BD:CO ::DC:OI ; d’où
résulte OIXBD=COxDC, ou, à cause de CO=AD,
OIxBD=ADxDC. Ajoutant les deux résultats, et obser
vant que BIXBD-+-OIXBD se réduit à BOxBD, on aura,
BO X BD=r AB X BC-f-AD X DC.
Si on eût pris BP = AD, et qu’on eiôt tiré CKP, on au
rait trouvé par des raisonnements semblables,
CP x CA=AB X AD-f-BC X CD.
