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LÏÏÏE IV. I 13
Au point T, milieu de l’arc AB, menez la tangente
GH, qui sera parallèle à AB *; faites la même chose *10,2,
au milieu de chacun des autres arcs BG, CD, etc.;
ces tangentes formeront par leurs intersections le po
lygone régulier circonscrit GHIK,etc., semblable au
potygone inscrit.
Il est aisé de voir d’abord que les trois points O,
B, H , sont en ligne droite, car les triangles rectan
gles OTH, OHN, ont l’hypoténuse commune OH, et
le coté OT=ON; donc ils sont égaux * ; donc *18,1.
l’angle TOH” HON, et par conséquent la ligne OH
passe par le point B milieu de l’arc TN : par la mémo
raison le point I est sur le prolongement de OC, etc.
Mais, puisque GH est parallèle à AB et Hî à BC,
l’angle GUI = ABC *; de même H1K=:BCD, etc.; *26,1.
donc les angles du polygone circonscrit sont égaux
à ceux du polygone inscrit. De plus , à cause de ces
mêmes parallèles, on a GH : AB : ; OH : OB, et HI:
BG : ; OH : OB ; donc GH : AB : : HI : BC. Mais AB —
BG, donc GH = HL Par la même raison HI = IK, etc. ;
donc les côtés du polygone circonscrit sont égaux
entre eux; donc ce polygone est régulier et semblable
au polygone inscrit.
Corollaire I. Réciproquement, si on donnait le
polygone circonscrit GHIK, etc., et qu’il fallût tracer
par son moyen le polygone inscrit ABC, etc., ou
voit qu’il suffirait de mener aux sommets G, H, I, etc.,
du polygone donné les lignes OG, OH, etc., qui ren
contreraient la circonférence aux points A, B, C, etc. ;
on joindrait ensuite ces points par les cordes AB,
BC, etc., qui formeraient le polygone inscrit. Ou
pourrait aussi, dans le même cas, joindre tout sim
plement les points de contact, T, N, P, etc., par les
cordes TN, NP, etc., ce qui formerait également un
polygone inscrit semblable au circonscrit.
Corollaire IL Donc on peut circonscrire à un
New. ici. %
