LIVRÉ ÎV. 
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le rayon du cercle inscrit; soit pareillement ah le 
côté d’un autre polygone semblable, o sou centre, 
oa et ad les rayons des cercles circonscrit et inscrit. 
Les périmètres des deux polygones sont entre eux 
comme les côtés AB et ah ; mais les angles A et a sont 
égaux comme étant chacun moitié de l’angle du po 
lygone; il en est de même des angles B et h; donc les 
triangles ABO, aho, sont semblables, ainsi que les 
triangles rectangles ADO, ado; donc AB;aZ»;.AO; 
ao DO:do; donc les périmètres des polygones sont 
entre eux comme les rayons AO , ao, des cercles cir 
conscrits , et aussi comme les rayons DO, do, des *“• 
cercles inscrits. 
Les surfaces de ces mêmes polygones sont entre 
elles comme les quarrés des côtés homologues AB, ah; 
elles sont par conséquent aussi comme les quarrés des 
rayons des cercles circonscrits AO, ao, ou comme les 
quarrés des rayons des cercles inscrits OD, od. 
PROPOSITION IX. 
LEMSE. 
Toute ligne courbe ou polygone qui enveloppe 
cVune extrémité à Vautre la ligne convexe AM B 
est plus longue que la ligne enveloppée AMB. 
Nous avons déjà dit que par ligne convexe nous fig.162. 
entendons une ligne courbe ou polygone, ou en par 
tie courbe et en partie polygone, telle qu’une ligne 
droite ne peut la couper en plus de deux points. Si la 
ligne AMB avait des parties rentrantes ou des sinuo 
sités, elle cesserait d’être convexe, parce qu’il est aisé 
de voir qu’une ligne droite pourrait la couper en plus 
de deux points. Les arcs de cercle sont essentielle 
ment convexes; mais la proposition dont il s’agit main 
tenant s’étend à une ligne quelconque qui remplit la 
condition exigée. 
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