LIVRE VI. 187 
tiere, le reste sera égal au double de la pyramide 
SDEF, de sorte qu’on aura, 
3.SDEF = SO x ( j ABC + M — DEF ). 
Mais, parce que SA est double de SD, la surface ABC 
est quadruple de DFE*, et ainsi ~ ABC — DFEr=: * 16. 
« DFE — DFE = | DFE ; donc 
2 SDEF = SO x (|DEF + M), 
et en prenant les moitiés de part et d’autre, il en 
résulte, 
SDEF = SP x (f DEF 4- M ). 
D’où l’on voit que pour avoir la solidité de la pyra 
mide SDEF, il faudra ajouter au tiers de sa base la 
même surface M qui avait été ajoutée au tiers de la 
base de la grande pyramide , et multiplier le tout par 
la hauteur SP de la petite pyramide. 
Si l’on divise SD en deux également au point K, 
et que par le point K on fasse passer le plan KLM 
pai'allele à DEF, lequel rencontre en Q la perpen 
diculaire SP, la même démonstration prouve que la 
solidité de la pyramide SKLM sera égale à SQ x 
Q KLM -f- M). 
Continuant ainsi à former une suite de pyramides 
dont les côtés décroissent en raison double , et les 
bases en liaison quadruple, on parviendra bientôt à 
une pyramide S abc, dont la base abc sera plus petite 
que 6M ; soit So la hauteur de cette derniere pyra 
mide ; et sa solidité, déduite de celle des pyramides 
précédentes, sera So X (\abc-\-W). Mais on a M > 
•j abc, et par conséquent 7 abc 4- M > 7 abc ; il faudrait 
donc que la solidité de la pyramide S abc fût plus 
grande que So X 7 abc. Résultat absurde, puisqu’on a 
prouvé dans le corollaire II de la proposition précé 
dente que la solidité d’une pyramide triangulaire est 
toujours moindre que la moitié du produit de sa base 
par sa hauteur; donc i° il est impossible que la soii-