LIVRE VII. 23 I
La même démonstration et la même conclusion auraient 2 7 *
lieu, si, en prenant toujours l’arc CA'ziCA, on faisait
l’angle BCA'<BCA ; donc ABC est le triangle le plus grand
entre tous ceux qui ont deux côtés donnés et le troisième à
volonté.
Scholie I. Le triangle ABC , le plus grand entre tous ceux fig. 241.
qui ont deux côtés donnés CA, CB , peut être inscrit dans
un demi-cercle dont la corde du troisième côté AB sera le
diamètre ; car O étant le milieu de AB , on a vu que les dis
tances OC , OB , sont égales ; donc la circonférence de petit
cercle décrite du point O comme pôle et de l’intervalle OB
passera par les trois points A, B , C. De plus la ligne droite
BA est un diamètre de ce petit cercle ; car le centre qui doit
se trouver à la fois dans le plan du petit cercle et dans le
plan de l’arc de grand cercle* BOA, se trouvera nécessai- ^
rement dans l’intersection de ces deux plans qui est la droite cor. 4.
BA, et ainsi BA. sera un diamètre.
II. Dans le triangle ABC , l’angle C étant égal à la somme
des deux autres A et B, il s’ensuit que la somme des trois
angles est double de l’angle C. Mais cette somme est tou
jours plus grande que deux angles droits*; donc l’angle C *19.
est plus grand qu’un droit.
III. Si l’on prolonge les côtés CB , CA , jusqu’à leur ren
contre en E , le triangle BAE sera égal au quart de la surface
de la sphere. Car l’angle E C =: ABC H- CAB ; donc les
trois angles du triangle BAE équivalent aux quatre ABC ,
ABE , CAB, BAE dont la somme est égale à quatre angles
droits ; donc la sui’face du triangle BAE* = 4 — 2=2, *24.
qui est le quart de la surface de la spliere.
IV. Il n’y aurait pas lieu à maximum si la somme des deux
côtés donnés CA, CB , était égale ou plus grande que la
demi-circonférence d’un grand cercle. Car puisque le trian
gle ABC doit être inscrit dans un demi-cercle de la spliere,
la somme des deux côtés CA, CB , sera moindre que la
demi-circonférence BCA*, et par conséquent moindre que la * 3
demi-circonférence d’un grand cercle.
La raison pourquoi il n’y a pas de maximum , lorsque la
somme des deux côtés donnés est plus grande que la demi-
circonférence d’un grand cercle , c’est qu’alors le triangle