fig. 242. 
* 16. 
*2.1. 
GÉOMÉTRIE. 
augmente de plus en plus à mesure que l’angle compris par 
les côtés donnés est plus grand ; enfin lorsque cet angle sera 
égal à deux droits , les trois côtés seront dans un même 
plan , et formeront une circonférence entière ; le triangle 
sphérique deviendra donc égal à la demi-sphere, mais il 
cessera alors d’être triangle. 
PROPOSITION XXVII. 
THEOREME. 
De tous les triangles sphériques formés avec un côté donné 
et un périmètre donné, le plus grand est celui dans lequel 
les deux côtés non déterminés sont égaux. 
Soit AB le côté donné commun aux deux triangles ACB, 
ADB , et soit AC-f-CB — AD -f- DB ; je dis que le triangle 
isoscele ACB , dans lequel AC —CB, est plus grand que le 
non-isoscele ADB. 
Car ces triangles ayant la partie commune AOB , il suffit 
de faire voir que le triangle BOD est plus petit que AOC. 
L’angle CBA égal à CAB , est plus grand que OAB ; ainsi 
le côté AO est plus grand que OB* ; prenez OI = OB, faites 
OK — 01), et joignez Kl ; le triangle OKI sera égal à DOB*. 
Si on nie maintenant que le triangle DOB ou son égal KOI 
soit plus petit que OAC , il faudra qu’il soit égal ou plus 
grand ; dans l’un et l’autre cas , puisque le point I est entre 
les points A et O , il faudra que le point K soit sur OC pro 
longé , sans quoi le triangle OKI serait contenu dans le 
triangle CAO , et par conséquent plus petit. Cela posé , le 
plus court chemin de C en A étant CA , on a CK-J-KI-f- 
IA > CA. Mais CK 1= OD — CO, AI=AO — OB, Kl = BD ; 
doncOD — CO-j-AO—OB-f-BD>CA, et en réduisant AD 
— CB+BD>CA, ou AD -f-BD > AC + CB. Or cette iné 
galité est contraire à l’hypothese AD BD = AC CB , 
donc le point K ne peut tomber sur le prolongement de OC; 
donc il tombe entre O et C, et par conséquent le triangle 
KOI , ou son égal ODB , est plus petit que ACO ; donc le 
triangle isoscele ACB est plus grand que le nonûsoscele ADB 
de même base et de même périmeti’e. 
Scholic. Ces deux dernieres propositions sont analogues