2 36 GÉOMÉTRIE. 
joignez ensuite SA, SB , TA, etc. , tous aurez un solide 
SABCDT , composé de deux pyramides quadrangulaires 
SABCD, TABCD, adossées par leur base commune ABCD ; 
ce solide sera l’octaèdre régulier demandé. 
En effet le triangle AOS est rectangle en O, ainsi que le 
triangle AOD ; les côtés AO , OS , OD , sont égaux ; donc 
ces triangles sont égaux, donc AS —AD. On démontrera 
de même que tous les autres triangles rectangles AOT, BOS, 
COT, etc. , sont égaux au triangle AOD ; donc tous les 
côtés AB , AS , AT, etc. sont égaux entre eux , et par con 
séquent le solide SABCDT est compris sous liuit triangles 
égaux au triangle équilatéral donné ABM. Je dis déplus que 
les angles solides du polyèdre sont égaux entre eux : par 
exemple , l’angle S est égal à l’angle B, 
Car il est xisible que le triangle SAC est égal au triangle 
DAC , et qu’ainsi l’angle ASC est droit ; donc la figure 
SATC est un quarré égal au quarré ABCD. Mais si on com 
pare la pyramide BASCT à la pyramide SABCD , la base 
ASCT de la première peut se placer sur la base ABCD de la 
seconde ; alors le point O étant un centre commun, la hau 
teur OB de la première coïncidera avec la hauteur OS de la 
seconde, et les deux pyramides se confondront en une seule; 
donc l’angle solide S est égal à Tangle solide B ; donc le so 
lide SABCDT est un octaèdre régulier. 
Scholie. Si trois droites égales, AC , BD , ST, sont per 
pendiculaires entre elles et se coupent dans leur milieu , les 
extrémités de ces droites seront les sommets d’un octaèdre 
régulier. 
Construction du dodécaèdre. 
%• 2 46. Soit ABCDE un pentagone régulier donné ; soient ABP , 
CBP , deux angles plans égaux à l’angle A BC : avec ces angles 
plans formez l’angle solide B, et déterminez par la propo 
sition xxiv, livre v, l’inclinaison mutuelle de deux de ces 
plans , inclinaison que j’appelle K. Formez semblablement 
aux points C, D, E, A, des angles solides égaux à l’angle 
solide B , et situés de la meme maniéré : le plan CBP sera le 
même avec le plan BCG , puisqu’ils sont inclinés l’un et 
l’autre de la même quantité K sur le plan ABCD. On peut 
donc dans le plan PBCG décrire le pentagone BCGFP égal