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En effet, puisque les apothèmes CD , DE , sont égales, et 
l’hypoténuse DO commune, le triangle rectangle CDO est 
*18, r. égal au triangle rectangle ODE * et la perpendiculaire OC 
est égale à la perpendiculaire OE. Mais AB étant perpendi 
culaire au plan CDE , le plan ABC est perpendiculaire à 
*x 7 , 5. CDE*, ou CDE à ABC ; d’ailleurs CO , dans le plan CDE, 
est perpendiculaire à CD, intersection commune des plans 
*18,5 CDE, ABC; donc CO* est perpendiculaire au pl^n AEC. 
Par la même raison EO est perpendiculaire au plan ABE ; 
donc les deux perpendiculaires CO , EO , menées aux plans 
de deux faces adjacentes par les centres de ces faces, se 
rencontrent en un même point O et sont égales. Supposons 
maintenant que ABC et ABE représentent deux autres faces 
adjacentes quelconques , l’apothême CD restera toujours de 
la même grandeur , ainsi que l’angle CDO, moitié de CDE ; 
donc le triangle rectangle CDO et son côté CO seront égaux 
pour toutes les faces du polyèdre ; donc, si du point O 
comme centre et du rayon OC on décrit une sphere, cette 
sphère touchera toutes les faces du polyèdre dans leurs 
centres (car les plans ABC , ABE , seront perpendiculaires 
à l’extrémité d’un rayon) , et la sphere sera inscrite dans le 
polyèdre, ou le polyèdre circonscrit à la sphere. 
Joignez OA, OB ; à cause de CA — CB, les deux obliques 
OA, OB, s’écartant également de la perpendiculaire, seront 
égales ; il en sera de même de deux autres lignes quelcon 
ques menées du centre O aux extrémités d’un même côté ; 
donc toutes ces lignes sont égales entre elles ; donc si du 
point O comme centre et du rayon OA on décrit une sur 
face sphérique , cette surface passera par les sommets de 
tous les angles solides du polyèdre, et la sphere sera cir 
conscrite au polyèdre ou le polyèdre inscrit dans la sphere. 
Cela posé, la solution du problème proposé n’a plus au 
cune difficulté, et peut s’effectuer ainsi : 
fig. 249. Etant donné le côté d’une face du polyèdre, décrivez 
cette face, et soit CD son apothème. Cherchez par le pro 
blème précédent l’inclinaison de deux faces adjacentes du 
polyèdre, et faites l’angle CDE égal à celte inclinaison, 
prenez DE égale à CD , menez CO et EO perpendiculaires 
à CD et ED ; ces deux perpendiculaires se rencontreront