NOTE II. 
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déterminé parles seules données A, B , p, sans autre angle 
ni ligne quelconque, mais la ligne p est hétérogène avec les 
nombres A, B , C ; et si on avait une équation quelconque 
entre A, B, C,/», on en pourrait tirer la valeur de p en 
A, B, C; d’où il résulterait que p est égal à un nombre, ce 
qui est absurde : donc p ne peut entrer dans la fonction <p’, 
et on a simplement C —ç : ( A, B)—(i) 
Cette formule prouve déjà que, si deux angles d’un 
triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, le 
troisième doit être égal au troisième; et, cela posé, il est 
facile de parvenir au théorème que nous avons en vue. 
Soit d’abord AEC un triangle rectangle en A; du point fiiT 2 _^ 
A abaissez AD perpendiculaire sur l’hypoténuse. Les angles 
B et D du triangle ABD sont égaux aux angles B et A du 
triangle BAC ; donc , suivant ce qu’on vient de démontrer, 
le troisième BAD est égal au troisième C. Par la même 
raison l’angle DAC—B, donc BAD-f-DAC, ou BAC 
zzz B -J— C : or l’angle BAC est droit ; donc les deux angles 
aigus d’un triangle rectangle, pris ensemble, valent un 
angle droit. 
Soit ensuite BAC un triangle quelconque et BC un côté 9-5. 
qui ne soit pas moindre que chacun des deux autres : si 
de l’angle opposé A on abaisse la perpendiculaire AD sur 
B C, cette perpendiculaire tombera au-dedans du triangle 
ABC, et le partagera en deux triangles rectangles BAD, 
(1) On a objecté contre cette démonstration que, si elle était 
appliquée, mot pour mot, aux triangles sphériques, il en résulte 
rait que deux angles connus suffisent pour déterminer le troi 
sième, ce qui n’a pas lieu dans ces sortes de triangles. La réponse 
est que, dans les triangles sphériques, il y a un élément de plus que, 
dans les triangles plans , et cet élément est le rayon de la sphere 
dont on ne doit pas faire abstraction. Soit donc r le rayon , alors 
au lieu d’avoir Crziç ( A, B ,p ) , on aura C —(p(A,B,^,r), ou 
seulement C~tp Ça, B, , en vertu de la loi des homogènes. 
P l 
Or, puisque le rapport ~ est un nombre, ainsi que A, B, C, rien 
n’empêche que ne se trouve dans la fonction tp , et alors on 
n’en peut plus conclure C = o (A, B).