NOTE III. 
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NOTE III. 
Sur Vapproximation de la proposition XVI, 
livre IV. 
Dès qu’on a trouvé un rayon excédent et un déficient qui 
s’accordent dans les premiers chiffres , on peut achever le 
calcul d’une maniéré très-prompte par le moyen d’une for 
mule algébrique. 
Soit a le rayon déficient et h l’excédent, dont la diffé 
rence est petite ; soient a' et b' les rayons suivants qui s’en 
déduisent par les formules b'—\/ ab, a! z=z[/ya.-—- 
Ce que l’on cherche, c’est le dernier terme de la suite a, a', 
a", etc., qui est en même temps celui de la suite b , b', b", 
etc. Appelons ce dernier terme x, et soit b-=za (1 —f- ) ; 
on pourra supposer x. — a (1 -J-P0) + Qw 2 -j-etc. ), P et Q 
étant des cocffiçients indéterminés. Or les valeurs de b' et a’ 
donnent 
b' ■=. a ( 1 + l -(à — jW 2 -f-etc. ) ; 
ô'=a(i —|—| oj 2 — 3^co 3 -l-etc. ). 
Et si on fait pareillement ( 1 -f-w'), ou aura 
w'=j(ii—-^to 2 etc. 
Mais la valeur de x doit être la même, soit que la suite a, 
a\ a!\ etc. commence par a ou par a'; donc on aura 
«(i-f Pw-fQw’-f etc.) = rt' (1 -j-Pto'-f-Q w' 2 -|-etc.). 
Substituant dans cette équation les valeurs de a' et de ta' 
en a et w, et comparant les termes semblables, on en dé 
duira P = ^,etQr=—; donc 
x—a ( 1 -f- ¿-w— rjW 1 ). 
Si les rayons a et b s’accordent dans la première moitié de 
leurs chiffres, on pourra rejeter le terme w 2 , et la valeur 
, . b — a 
precedente se réduira à x — ¿7(1 —5- co ) zzrr « —| 
Ainsi, en faisant, a— 1, 1282657 , et £= 1, i286o63,on 
en déduira immédiatement x— i, 1283792. 
Si les rayons a et b ne s’accordent que dans le premier 
tiers de leurs chiffres , il faudra prendre les trois termes de 
la formule précédente ; ainsi en faisant a— 1, 1265689 cl 
h—i, 1820149, on trouvera x = x, 1283791.