NOTE IV. 
29O 
4 a 
16 
64 cd 
' a.3 a.3.4.5 a.3..7 
-|- etc. 
i-l 
4« 16 
64 
2.3.4 a.3...6 
-f- etc. 
Mais ces suites se rapportent à des formules connues , et on 
sait qu’en représentant par e le nombre dont le logarithme 
hyperbolique est 1, l’expression précédente se réduit à 
( ;i.V a (i —2 a 
—; —• 1/a ; de sorte qu’on aura en général 
2 \/a 1 b 
c Wa c —2 Va 
4 a 
2 v/ a —— 
i + 
4«! 
T 
4 a 
5 + etc. 
De là résultent deux formules principales selon que a est 
positif ou négatif. Soit d’abord 4 « = x 2 , an aura 
X 
e — 
e +e 
.x 
1 
,x 2 
T 
x 1 
5 + etc. 
Soit ensuite 4az=z — x 2 , et en vertu de la formule connue 
e xV-x_ e _x*/-i 
— 1/— i- tang. x, on aura 
e *s/—i +e -*x/—1 
x 
tang. x 
Celle-ci est la formule qui servira de base à notre démons 
tration. Mais il faut , avant tout, démontrer les deux 
lemmes suivants. 
Lemme I. Soit une fraction continue prolongée a Vinfini, 
m 
m 
n~\ y , m" 
« + 
n" -f- etc. 
dans laquelle tous les nombres m, n , m', n', etc. sont des 
entiers positifs ou négatifs ; si on suppose que les fractions