NOTE IV. 293 
Et puisque les deux premiers nombres A et B sont entiers 
par hypotbese , il s’ensuit que tous les autres C , D , 
E , etc., qui jusqu’à ce moment étaient indéterminés , sont 
aussi des nombres entiers. Or , il implique contradiction 
qu’une suite iniinie A , B , C , D, E, etc. soit à-la-fois dé 
croissante et composée de nombres entiers ; car d’ailleurs 
aucun des nombres A , B, C, D , E, etc. ne peut être zéro, 
puisque la fraction continue proposée s’étend à l’infini, et 
B C D 
qu’ainsi les sommes représentées par —, —, —, etc. doivent 
.A. 13 (~j 
toujours être quelque chose. Donc l’hypothese , que la 
somme de la fraction continue proposée est égale à une 
g 
quantité rationnelle —, ne saurait subsister ; donc cette 
somme est nécessairement un nombre irrationnel. 
Lemme II. Les memes choses étant posées , si les fractions 
m m' ra" 
composantes —, —, , etc. sont cVune grandeur nuelcon- 
n n' n" 
que au commencement de la suite ; mais qvjaprès un certain 
intervalle, elles soient constamment plus petites que Vunité ; 
je dis que la fraction continue proposée, en supposant tou 
jours qu elle s'étende à Vinfini, aura une valeur iirationnelle. 
. , m> " 
Car , si a compter de ——, par exemple , toutes les frac- 
, m rn ir m r . 
lions ——, , —, etc. à l’infini , sont plus petites que 
n n lv n y 
l’unité, alors , suivant le lemme I, la fraction continue 
m 
m îV 
n + > r +r 
n x etc. 
aura une valeur irrationnelle. Appelons cette valeur u, et 
la fraction continue proposée deviendra 
m 
n 
m 
lé 
Mais si on fait successivement