NOTE Vili. 
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et A < 3H — 6, où l’on se souviendra que les signes > ec 
< n’excluent pas l’égalité. Ces limites ont lieu généralement 
dans tous les polyèdres. 
a° Supposons a A >4 S, ce qui convient à une infinité 
de polyèdres , et nommément à ceux dont tous íes angles 
solides sont formés de quatre plans ou plus , on aura dans 
ce cas H>8 + oj, ou, en faisant la substitution, 
a > 8 -J- c -f- id-\- 3c + etc. 
Donc il faut que le solide ait au moins huit faces triangu 
laires ; la limite H > 8 -j~w donne S>6-hw,etA>T2-J-2W, 
Mais on a en même temps co<H — 8 ; et de là résulte S < H 
— 2 , A < a II— 4. 
3° Supposons aA> 5S, ce qui renferme entre autres 
polyèdres ceux dont tous les angles solides sont au moins 
quintuples, il en résultera H > 20 -f- 3 w. ou 
<2 > 20 2 -f- 5 c-f- 8<i+etc. 
Et on aura en même temps S > 12 -f- 20), et A > 3o 5tó; 
enfin de ce que (») < |- (H — ao) , on tire les limites S < 
f (H — 2), A< 3- (H — 2). 
On ne peut supposer 1A — 6S] car on a en général 
2 A + 2 w-q- 12 =:6S ; donc il n’y a aucun polyèdre dont 
tous les angles solides soient formés de six angles plans ou 
plus; et en effet la moindre valeur qu’aurait chaque angle 
plan , l’un portant l’autre , serait l’angle d’un triangle équi 
latéral, et six de ces angles feraient quatre angles droits, 
ce qui est trop grand pour un angle solide. 
4° Considérons un polyèdre dont toutes les faces soient 
triangulaires, on aura to — o, ce qui donnera A z=^H, et 
S = 2-J- \ H. Supposons en outre que tous les angles solides 
du polyèdre soient en partie quintuples, en partie sextu 
ples ; soitp le nombre des angles solides quintuples, q celui 
des sextuples, on aura S=r/>-J-<7et2A=r5/?-f- 6q, ce qui 
donne 6S — 2 Amy; .• mais on a d’ailleurs Ar=| H, et S — 
2 -f- y H ; donc p — 6 S — 2 A =z 12. Donc si un polyèdre a 
toutes ses faces triangulaires, et que ses angles solides soient 
en partie quintuples , en partie sextuples, les angles solides 
quintuples seront toujours au nombre de 12. Les sextuples 
peuvent être en nombre quelconque : ainsi, en laissant q 
indéterminé, on aura dans tous ces solides S= 12 -f-#? 
H —20 -1- 2 q, A = 3o -h 3 q. 
2Q.