Il n’est pas / toujours nécessaire d’avoir trois données 
pour déterminer chaque sommet d’un polyèdre ; car si 
le point M doit se trouver sur un plan déjà déterminé dont 
l’intersection avec la base soit FG , il suffira, après avoir 
pris FG à volonté, de connaître les angles MGF, MFG; 
ainsi il faudra une donnée de moins. Si le point M doit se 
trouver sur deux plans déjà déterminés, ou sur leur inter 
section commune MK qui rencontre le plan ABC en K, on 
connaîtra déjà le côté AK, l’angle AKM , et l’inclinaison du 
plan AKM sur la base ; il suffira donc d’avoir pour nouvelle 
donnée l’angle MAK. C’est ainsi que le nombre de données 
nécessaires pour déterminer un polyèdre absolument et 
d’une maniéré unique, se réduira toujours au nombre de 
ses arêtes A. 
Le côté AB et un nombre A — i d’angles donnés déter 
minent un polyèdre; un autre côté à volonté et les mêmes 
angles détermineront un polyèdre semblable. D’où il suit que 
le nombre de conditions necessaires pour que deux polyèdres 
de la même espece soient semblables, est égal au nombre des 
arêtes moins un. 
La question qu’on vient de résoudre serait beaucoup plus 
simple si on ne connaissait pas l’espece du polyèdre, mais 
seulement le nombre de ses angles solides S. Déterminez 
alors trois sommets à volonté par le moyen d’un triangle 
où il y aura trois données ; ce'triangle sera regardé comme 
la base du solide, ensuite les sommets hors de cette base 
seront au nombre de S — 3; et la détermination de chacun 
d’eux exigeant trois données, il est clair que le nombre 
total de données nécessaires pour déterminer le polyèdre, 
sera 3 -f- 3 (S — 3), ou 3S — 6. 
Il faudra donc 3 S — 7 conditions pour que deux polyè 
dres qui ont un égal nombre S d’angles solides soient sem 
blables entre eux. 
NOTE IX. 
Sur les polyèdres réguliers. (Voyez Vappendice 
au livre VII.) 
Nous nous sommes attachés dans la proposition II de cet 
appendice à démontrer l’existence des cinq polyèdres régu-