NOTE IX. * 3l3 
qu’on a trouvées par une autre voie; pour cela, il faut subs 
tituer, dans chaque cas, les valeurs de m et n , savoir : 
Tétraèdre, Hexaèdre, Octaèdre, Dodécaèdre, Icosaèdre. 
m—: 3 , 3 , 4 î 3 , 5. 
/z — 3,4 ? 3 , 5 , 3. 
Le même triangle sphérique pqr, d’où l’on vient de 
déduire l’inclinaison de deux faces adjacentes , donne 
CO 
cos pq — cot p cot q . ou ——- = cot — cot 
1 1 OA m 
-, Donc, si on 
appelle R le rayon de la sphere circonscrite au polyèdre, 
et r le rayon de la sphere inscrite dans le même polyèdre, 
R 'ITT TT . A 
on aura — = tang — tang —; d’ailleurs, en faisant le coté 
r m 
AB — a, on a CA : 
-, et par conséquent R 2 
r’- -p- 
Ces deux équations donneront pour chaque polyèdre, 
les valeurs des rayons R et ;• des spheres circonscrite et 
inscrite. On a aussi, en supposant C connu, r 
r a cot — 
n 
tang \ C et R = - a tang — tang \ C. 
m 
Dans le dodécaèdre et l’icosaèdre, on voit que le l’apport 
R • k n • i . 
— a la même valeur tang — tang —. Donc, si R est le meme 
/• 3 5 
pour tous les deux , r sera aussi le même ; c’est-à-dire, que 
si ces deux solides sont inscrits dans une même sphere, ils 
seront aussi circonscrits à la même sphere, et vice versa. 
La même propriété a lieu entre l’hexaèdre et l’octaèdre, 
R 
puisque la valeur de — est, pour l’un et pour l’autre, 
r 
tang—- tang—. 
a 4 
Remarquons que les polyèdres réguliers ne sont pas les 
seuls solides qui soient compris sous des polygones réguliers 
égaux; car, si on adosse par une face commune deux té-