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NOTE X.
Problème I. Trouver la surface d'un triangle sphérique
par le moyen de scs trois côtés.
Pour cela, il faudra dans la formule
cot-j-acot^è-j- cos C
cot ~ S “
sin C
substituer les valeurs de sin C et cos C exprimées en a ,h, c:
cos c—cos a cos h
or, on a cos C = ; ;— et cot ~ a cot ^ h —
sin a sin h
i -f- cos a i -j- cos b -
; de la résulte :
sin h
cos C + cot ~ a cot \ h-=z
i -f- cos a cos b + cos c
sin a sin b
Ensuite la valeur de cos C donne
ï -J-cos C:
# a—I—b—I—c , a—I—b—c
. 7 . 2 Sin Sin
cose COS [a-\-b) 2 2
sin a sin b
sin a sin b
■cos C:
. a-\-c—b , h+-c—a
. 2 Sin sin
cos (a—b) COS C 2 2
sin a sin b sin a sin b
Multipliant ces deux quantités entre elles et extrayant la
racine du produit, on aura
Sin C :
2|/ sin
. a+b+c . a+b—c . a+c—b , b+c-
O
Donc enfin
cotrS= —
sin a sin b
i -{- cos a -f- cos b +- cos c
f . a+h-\-c . a+b—c . a+c—b . b+a—c
2j/( sin sin sin -sin
V 2 2 2 2
)
Cette formule résout le problème proposé, mais on peut
parvenir à un résultat plus simple.
Pour cela reprenons la formule
cot a cot \b-\~ cos C
col ï- S = ,
1 sin C
nous en limerons d’abord i -j~ cot 2 S, ou
i cot 2 a cot 2 \b-\- 2 cot y a cot ~ h cos C-f-1
sin 2 - S
sin 2 C