NOTE XI. 3ai 
être plus petite que le rectangle ABGF, partie correspon 
dante de la surface du prisme inscrit. 
En effet, soit S la surface convexe dont il s’agit, et soit, 
s’il est possible, le rectangle ABGF ou ABxAF = S + M, 
M étant une quantité positive. 
Prolongez la hauteur AF du prisme et du cylindre jus 
qu’à une distance AF' égale à n fois AF , n étant un 
nombre entier quelconque; si l’on prolonge en même temps 
le cylindre et le prisme, il est clair que la surface convexe 
S' comprise entre les arêtes AF', BG', contiendra n fois la 
surface S; de sorte qu’on aura S' = «S , et parceque 
nXAF = AF', on aura AB X AF'— n S -J- n M — S'+ n M. 
Or n étant un nombre entier à volonté et M une surface 
donnée, on peut prendre n de maniéré qu’on ait plus 
grand que le double du segment A «B , puisqu’il suffit pour 
2 A n B 
cela de faire n>———; donc alors le rectangle ABxAF' 
ou la surface plane ABG'F' serait plus grande que la sur 
face enveloppante, composée de la surface convexe S' et 
de deux segments circulaires égaux A u B, F'x'G'. Or, au 
contraire, la seconde surface est plus grande que la pre 
mière, suivant le premier lemme préliminaire; donc, i° on 
ne peut avoir S < ABGF. 
Je dis en second lieu que la même surface convexe S ne 
saurait être égale à celle du rectangle ABGF. Car suppo 
sons, s’il est possible, qu’en prenant AE=:AB, la sur 
face convexe AMK soit égale au rectangle AFKE ; par un 
point quelconque M de l’arc AME, menez les cordes AM, 
ME, et élevez MN perpendiculaire sur le plan de la base. 
Les trois rectangles AMNF, MEKN, AERE, ayant même 
hauteur , sont entre eux comme leurs bases AM, ME, AE. 
Or on a AM-{-ME>AE, donc la somme des rectangles 
AMNF, MEKN est plus grande que le rectangle AFKE. 
Celui-ci est équivalent par hypothèse à la surface convexe 
AMK, composée des deux surfaces partielles AN, MK. 
Donc la somme des rectangles AMNF , MEKN est plus 
grande que la somme des surfaces convexes correspondantes 
AN, MK. Donc il faudra que l’un au moins des rectangles 
AMNF , MEKN soit plus grand que la surface convexe 
New, édit. 
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