346 TRIGONOMÉTRIE.
mités se confondent en un même point, et le sinus se réduit
à zéro.
Il n’est pas moins évident que, si à un arc quelconque
AM on ajoute une ou plusieurs circonférences, on retom
bera exactement sur le point M, et l’arc ainsi augmenté
aura le même sinus que l’arc AM ; donc si C désigne une
circonférence entière ou 4oo°, on aura
sin x = sin ( C -{-x ) rzz sin ( 2 C-{-x ) = sin ( 3 C -\-x ) etc.
La même chose aurait lieu pour les cosinus , tangente, etc.
Maintenant, quel que soit l’arc proposé x, il est facile de
voir que son sinus pourra toujours s’exprimer, avec un
signe convenable, par le sinus d’un arc moindre que ioo°.
Car d’abord on peut retrancher de l’arc x autant de fois
400° qu’ils peuvent y être contenus; soit le reste y, on
aura sin xz^zsin y. Ensuite si j' est plus grand que 200° , on
fera y ~ 200 0 -J- z, et on aura sin y — — sin z. Tous les cas
sont donc réduits à celui où l’arc proposé est moindre
que 200 0 , et comme d’ailleurs on a sin (ioo°-j-^) —
sin (ioo°—x) , il est clair qu’ils se réduisent ultérieurement
au cas où l’arc proposé est entre zéro et ioo°.
xiv. Les cosinus se réduisent toujours aux sinus en vertu
de la formule cos A ~ sin ( x oo° — A ) , ou, si l’on veut,
de la formule cos A — sin (ioo° + A); ainsi, sachant éva
luer les sinus dans tous les cas possibles , on saura de même
évaluer les cosinus. Au reste, on voit directement parla
ligure que les cosinus négatifs sont séparés des cosinus po
sitifs par le diamètre DE, en sorte que tous les arcs dont
l’extrémité tombe à gauche de DE ont un cosinus positif,
tandis que ceux dont l’extrémité tombe à droite ont un
cosinus négatif.
Ainsi de o°àioo°Ies cosinus sont positifs,de ioo°à 3oo°
ils sont négatifs, de 3oo° à 4oo° ils redeviennent positifs ;
et après une révolution entière, ils prennent les mêmes
valeurs que dans la révolution précédente, car on a aussi
cos ( 4oo° -f- x ) — cos x.
D’après ces explications, il est aisé de voir que les sinus
et cosinus des arcs multiples du quadrant, ont les valeurs
suivantes :
