TRIGONOMÉTRIE. 36’l 
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dans laquelle sr on substitue la valeur de tang i a, 
on aura 
3 R 2 tang a — tang 3 a 
tara 
* 
3 a\ 
b ~ R 2 — 3 tang 
xxxn. Le développement des formules trigonométri- 
ques , considéré dans toute sa généralité, forme une bran 
die importante de l’analyse, sur laquelle on peut consulter 
l’excellent ouvrage d’Euler, intitulé : ïntroductio in anal, 
tnf., ou sa traduction par M. Labey. Nous croyons ce 
pendant devoir démontrer encore les formules qui servent 
à exprimer le sinus et le cosinus en fonctions de l’arc, 
formules dont la connaissance est supposée dans la note iv, 
et qui d’ailleurs sont nécessaires pour la construction des 
tables. 
Et d’abord, supposant le rayon —i, ce qui n’alterepasla 
généralité des résultats, on a la formule cos^ A-f-«’« 1 A~ i, 
dont le premier membre peut être regardé comme le pro 
duit des deux facteurs imaginaires cos A-j-l/— i sin A et 
cos A — i/— i sin A. Si on multiplie ensemble deux fac 
teurs semblables cos A ~\~\/—i sin A, cos B-f-p/—i sin B, 
le produit sera cos A cos B — sin A sin B -f- (sin A cos B -f- 
sin B cos A)p/— i, et il se réduit par conséquent à la forme 
cos (A-f-B) + l/— i sin (A-f-B) , laquelle est semblable à 
chacun des facteurs. On a donc en général 
(cosA-\-\/ — i sin A) (cosB-\-\/ — i ««B)— cos( A-J-B)-f-p/— i s in( A-f-B), 
et il est remarquable que la multiplication de ces sortes de 
quantités s’exécute en ajoutant seulement les arcs, ce qui 
est une propriété analogue à celle des logarithmes. On eu 
conclura successivement 
(cos A -f-p/— i sin A) (cos A-f-[/—isin A) — cos2 A-J-p/— isini A 
(cos A -f-p/—i sin A) (cos 2 A-f- p/—i sin 2 A) — cos 3 A+i/-i sin 3 A 
(cos A -f-p/—i sin A) (cos j A-f- p/ — i sin 3 A) cos 4 A-f-p/—i sinlfX 
etc. 
Le premier produit est égal à (cos A-f-p/— i sin A) 3 , le 
second est égal à (cos A-f-p/— i sin A) 3 ; et ainsi de suite. 
Donc en général, n étant un nombre entier quelconque , 
on aura 
( cos A -f- p/-*- X sin A) n =zcos n A -J-p/— i sin n A.