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On peut remarquer que la ligne III = AL — 
—7b— • donc l’aire du trapeze peut s’exprimer aussi 
par EF X HI : elle est donc égale à la hauteur du 
trapeze multipliée par la ligne qui joint les milieux 
des côtés non parallèles. 
PROPOSITION VIIL 
THEOREME. 
Si une ligne AC est divisée en deux parties AB, f, s- Trf> ' 
BC, le quarré fait sur la ligne entière AC con 
tiendra le quarré fait sur une partie AB, plus le 
quarré fait sur l’autre partie BG, plus deux 
fois le rectangle compris sous les deux parties AB, 
BC, ce qu’on exprime ainsi, AC ou (AB + BC) 
=ÂbVbG + 2 AB x BC. 
Construisez le quarré ACDE, prenez AP 1 —AB, 
menez FG parallèle à AG, et BH parallèle à AE. 
Le quarré ABCD est divisé en quatre paxties : la 
première ABIF est le quarré fait sur AB, puisqu’on 
a pris AF = AB: la seconde IGDII est le quarré fait 
sur BG; car puisqu’on a AC —AE, et AB—AF v la 
différence AG — AB est égale à la différence AE — 
AF, ce qui donne BC^EF 1 ; mais à cause des paral 
lèles IG=BG, et DG —EF, donc HIGD est égal au 
quarré fait sur BC. Ces deux parties étant retran 
chées du quarré total, il reste les deux rectangles 
BCGI, EFIH, qui ont chacun pour mesure AB x BC ; 
donc le quarré fait sur AC, etc. 
Scholie. Cette proposition revient à celle qu’on 
démontre en algèbre pour la formation du quarré 
d’un binôme, et qui est ainsi exprimée: 
(a-J-^) 2 — a 2 -f- 2ab —f- h 2 ,