fig. ii4- 
* 2. 
*6. 
fig. 1x5. 
7 6 GÉOMÉTRIE. 
PROPOSITION XV. 
THEOREME. 
La ligne DE, menée parallèlement ci la hase 
cl’un triangle ABC , divise les côtés AB, AC, 
proportionnellement ; de sorte qu’on a AD : DB 
: : AE : EC. 
Joignez BE et DG; les deux triangles BDE, DEC, 
ont même base DE ; ils ont aussi même hauteur, 
puisque les sommets B et G sont situés sur une paral 
lèle à la base; donc ces triangles sont équivalents*. 
Les triangles ADE, BDE, dont le sommet commun 
est E, ont même hauteur et sont entre eux comme 
leurs bases AD, DB*; ainsi on a, 
ADE : BDE ; : AD ; DB. 
Les triangles ADE, DEC, dont le sommet commun 
est D, ont aussi même hauteur, et sont entre eux 
comme leurs bases AE , EG ; donc, 
ADE : DEC : : AE : EC. 
Mais le triangle BDE = DEC; donc, à cause du 
rapport commun dans ces deux proportions, on en 
conclura AD : DB : : AE ; EG. 
Corollaire I. De là résulte componendo AD+DB: 
AD ; : AE + EG : AE, ou AB ; AD : ; AG : AE, et aussi 
AB ; BD : : AG ; CE. 
Corollaire II. Si entre deux droites AB, CD, on 
mene tant de parallèles qu’on voudra AG, EF, GH, 
BD, etc., ces droites seront coupées proportionnelle- 
ment, et on aura AE : CF : : EG : FH : : GB : HD. 
Car soit O le point de concours des droites AB , 
CD; dans le triangle OEF, où la ligne AG est menée 
parallèlement à la base EF, on aura OE : AE : : OF : 
CF, ou OE ; OF ; : AE : CF. Dans le triangle OGH, on 
aura semblablement OE : EG : : OF ; FH, ou OE : OF 
: ; EG ; FH ; donc , à cause du rapport commun ,