jLIVRE III. 
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la hase 
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D : DB 
, DEC, 
hauteur, 
ne paral- 
alents *. 
commun 
comme 
commun 
între eux 
cause du 
ns, on en 
CD + DB : 
, et aussi 
CD, on 
EF, GH, 
tionnelle- 
: HD. 
oites AB, 
est menée 
E : : OF : 
OGH, on 
a OE:OF 
commun , 
OE : OF, ces deux proportions donnent AE : CF : ; 
EG : FH. On démontrera de la meme maniéré que EG : 
FH ;:GB:HD, et ainsi de suite; donc les lignes AB, 
CD, sont coupées proportionnellement par les paral 
lèles EF, GH, etc. 
PROPOSITION XVI. 
THÉORÈME. 
Réciproquement si les côtés AB, AC , sont cou- % IIÛ - 
pés proportionnellement par la ligne DE, en 
sorte qu’on ait AD : DB : : AE : EC, je dis que la 
ligne DE sera parallèle à la hase BC. 
Car si DE n’est pas parallèle à BG, supposons que 
DO en soit une; alors, suivant le théorème précé 
dent, on aura AD:BD: : AO ;OC, Mais, par hypo 
thèse, AD : DB: : AE ; EC; donc on aurait AO: OC:: 
AE:EG; proportion impossible, puisque d’une part 
l’antécédent AE est plus grand que AO, et que de 
l’autre le conséquent EG est plus petit que OC ; donc 
la parallèle à BC menée par le point D ne peut diffé 
rer de DE ; donc DE est cette parallèle. 
Scholie. La même conclusion aurait lieu si on sup 
posait la proportion AB : AD : : AG : AE. Car cette pro 
portion donnerait AB—AD;AD;:AG—AE;AE, ou 
BD: AD; :CE:AE. 
PROPOSITION XYIL 
THÉORÈME. 
La ligne AD, qui divise en deux parties égales %, 
Vangle BAC d’un triangle, divisera la hase BG 
en deux segments BD , DC, proportionnels aux 
côtés adjacents AB, AC; de sorte qu’on aura 
BD: PC;: AB: AC.