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GÉOMÉTRIE. 
Faites au point E l’angle FEGrrrB et au point F 
l’angle EFG=G, le troisième G sera égal au troi 
sième A, et les deux triangles ABC, EFG, seront 
ëquiangles ; donc on aura par le théorème précédent 
BC :EF : : AB : EG ; mais, par hypothèse, BC:EF:: 
AB : DE ; donc EG = DE. On aura encore, par le 
môme théorème, BG ;EF : ; AG : FG , or on a, par hy 
pothèse, BG : EF : : AC : DF ; doncFG = DF; donc 
les triangles EGF, DEF, ont les trois côtés égaux 
*n, x. chacun à chacun ; donc ils sont égaux *. Mais, par 
construction, le triangle EGF est équiangle au trian 
gle ABC 5 donc aussi les triangles DEF, ABG, sont 
équiangles et semblables. 
Scholie I. On voit par ces deux dernieres proposi 
tions, que dans les triangles, légalité des angles est 
une suite de la proportionnalité des côtés, et ré 
ciproquement , de sorte qu’une de ces conditions 
suffît pour assurer la similitude des triangles. Il n’en 
est pas de même dans les figures de plus de trois 
côtés ; car, dès qu’il s’agit seulement des quadrila 
tères, on peut, sans changer les angles, altérer la 
proportion des côtés, ou, sans altérer les côtés, 
changer les angles; ainsi la proportionnalité des 
côtés ne peut être une suite de légalité des angles, ni 
%. i2i. •vice versa. On voit, par exemple, qu’en menant EF 
parallèle à BG, les angles du quadrilatère AEFD 
sont égaux à ceux du quadrilatère ABCD ; mais la 
proportion des côtés est différente : de même, sans 
changer les quatre côtés AB, BG, CD, AD, on peut 
rapprocher ou éloigner le point B du point D , ce qui 
altérera les angles. 
Scholie II. Les deux propositions pi'écédentes qui 
n’en font proprement qu’une, jointes à celle du 
quarré de l’hypoténuse, sont les propositions les plus 
importantes et les plus fécondes de la géométrie ; 
elles suffisent presque seules à toutes les applications