DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. i5g 
5 e . Que toute fonction 17 (n) dont le paramètre est imaginaire, 
pourra se réduire indéfiniment à la première espèce, si l’on peut 
satisfaire en même temps aux deux conditions nécessaires pour que 
les fonctions auxiliaires II (—tri) , 17 (—m') soient susceptibles d’une 
semblable réduction. On a déjà vu un exemple de ces réductions 
(art. 109} et il serait facile d'en produire beaucoup d’autres. 
D’un symptôme général pour reconnaître si deux fonctions 
données de troisième espèce , qui ne different que par les 
paramètres, peuvent se réduire Vune à Vautre. 
(115). Nous avons admis trois formes dans les paramètres, savoir, 
11 = cot 2 c), n — — i + sin 2 0 , 71 = — c 2 sin 2 G ; et nous avons fait 
voir que toute fonction qui se rapporte à la première forme, peut 
être convertie en une fonction qui se rapporte à la seconde forme, 
et réciproquement. Cette conversion se fait par la formule du n° 5i , 
et sans rien changer aux deux autres élémens de chaque fonction , 
qui sont le module c et l’amplitude <p. Mais une fonction dont le 
paramètre appartient à la troisième forme,ne peut jamais être réduite 
qu’à une fonction dont le paramètre est de la même forme. C’est 
pourquoi nous nous bornerons à comparer successivement, pour 
les trois formes du paramètre , deux fonctions qui se rapportent à 
une même forme. 
Soit i°. 7i = cot 2 0 ; la formule (h!) du n° g5 prouve que la fonc 
tion fl (cot 2 9 , c, ç) peut se réduire à la fonction U (¿ 2 tang 2 (p, Z», 0) 
qui difiere de la première par ses trois élémens. Semblablement la 
fonction n(col 2 A, pourra se réduire à la fonction I7(Z» 2 iang 2 (p, h, A); 
mais les fonctions 17(Z> 2 tang 2 <p , b , 0) , TI (¿ 2 lang 2 <p, A) qui ne 
diffèrent que par l’amplitude, peuvent se comparer entre elles et 
avec la fonction complète II 1 (Z>* tan g 2 (¡5, h ) , d’une infinité de ma 
nières par les formules des n 95 55 et 5y. Supposons en général qu’on 
ait l’équation 
¿F(¿, A)±/rF(¿,0)==:/F‘(¿), 
i, k, l étant des nombres entiers ; alors il s’ensuivra par les prin 
cipes connus, 
/: H (¿ 2 tang 2 <p, h, A) ztAn(¿> 2 tang s ?>, h, 0) = /rT (¿ 2 tang 2 <p, h) -f- W,