DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 9 
Or, on est maître de rendre positif le numérateur dé cette der 
nière quantité; car supposons que a, h, c, d, soient écrites dans 
Tordre de leur grandeur, les racines négatives venant après les 
positives, alors les différences a—h, a — c, etc. seront toutes 
positives, et p— q sera réel. On aura encore p— q réel , si on 
prend pour a et b les extrêmes en grandeur des racines a, b y c, d. 
Enfin, la troisième combinaison donnerait p-—q imaginaire. 
Donc par la substitution de x 
il est toujours possible 
de faire disparaître les puissances impaires de la variable sous le 
radical, et en même temps on obtient cet avantage , que les deux 
facteurs, sous le nouveau radical, sont réels et de la forme f-hgj*) 
ce qui est un point essentiel, et qu’on n’obtiendrait pas toujours 
par la première méthode. 
Remarquons qu’il y a deux cas particuliers à examiner. 
i*. Lorsque l’une des racines a et b est égale à l’une des racines 
c et d, le radical R se simplifie, et Tintégrale ne dépend plus que 
des arcs de cercle et des logarithmes. 
2 0 . Si Ton a a-\~hz=:c-\-d, il suffit d’une simple permutation 
pour cesser d’avoir a b ■= c -\~ d' y mais on peut aussi profiter 
de cette circonstance pour faciliter la transformation. En effet, les 
deux facteurs de la quantité sous le radical étant alors de la forme 
A-f- v (x % -h 2/m) , £ -j- Q (x z -f- imx') , il est clair que si on fait 
x , les puissances impaires de la variable disparaîtront. 
Réduction de la différentielle 
Vdx 
R 
à la forme 
Qd<p 
UC 1 — c a sin . 2 <p)’ 
(6). Puisque par une première préparation on peut faire ensorle 
qu’il n’y ait pas de puissances impaires de la variable sous le ra 
dical, nous ferons désormais R = v/( a -f- + yx^). Nous sup 
poserons aussi que P est une fonction paire de x ; car quelle que 
soit la fonction rationnelle P, on peut toujours faire P = M + Nx, 
M et N étant des fonctions paires de x ; or la partie —^ se ra 
mène aux règles ordinaires, en faisant x*z=.j ; ainsi toute la dif- 
ficulté se réduit à intégrer la formule -qr~, dans laquelle M est 
une fonction paire de x.