DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
aura Taire entière du cône 
Z'=Z 2k COt T G [ ( n 4- I ) IP ( n , C )—■ F* (c) 4- E l (c)], 
formule où Ton a /¿ = cot* G. 
Ayant déjà fait le plus petit apothème AS = k, si on fait le plus 
grand BS = k' } on aura immédiatement, en vertu des valeurs précé 
dentes , tang ~ G = '(-*-) ; de plus, si on appelle Ç l’angle ~ (ASO 
•4-BSO) que fait la perpendiculaire AO avec la ligne qui divise en 
deux également l’angle ASB, on aura c = sin £. Ainsi les quan 
tités c, k, G, qui entrent comme élémens dans le résultat final, 
se déduisent immédiatement du triangle SAB. 
Au reste, comme la fonction complète n'(«,<?) peut s’exprimer 
par des fonctions de la première et de la seconde espèce, on voit 
que la surface du cône oblique à base circulaire , ne dépend non 
plus que des fonctions elliptiques de la première et de la seconde 
espèce , de sorte qu’elle peut se mesurer par des arcs d’ellipse • 
théorème qui n’avait encore été démontré que dans quelques cas 
particuliers. 
La surface du même cône étant développée sur un plan , il 
en résulte un secteur dont l’angle se détermine par la formule 
da \/[_h a ~\~ (i—f cos«) 2 ]] 
ll % -f-/’ 2 -]- x — sf COS Où 
et au moyen des mêmes substitutions, on a la transformée 
Y 
i r à dtp tang \ \ 
i J ( i + « sin^p) ‘ /{ 
[0 -^~r) n ( n ’ c ^)-ir F ( û ^)} 
Cette intégrale étant prise depuis <p = o jusqu’à <p = 27T, on aura 
l’angle total du secteur 
v . 4 teng i fl 
v k 
On peut remarquer que si dans l’expression de V on fait P—j/?r, 
la valeur de Y deviendra le quart de Tangle total V r . On a en même 
temps œ — G. Donc si on détermine le point M de manière que 
l’angle ACM = G , l’angle correspondant Y sera précisément le 
quart de Tangle résultant du développement de la surface entière 
du cône.