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DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 185 
mais l’une ou l’autre des deux intégrations ne peut s’effectuer sans 
introduire des fonctions elliptiques qui ne permettraient pas d’ob 
tenir la seconde intégrale. Pour rendre la première intégration 
possible, au moins par arcs de cercle ou par logarithmes, on 
pourrait appliquer la méthode que nous avons donnée dans les 
Mémoires de l’Académie des Sciences, année 1788; mais on par 
viendra plus directement au même but de la manière suivante. 
Soit z=c cosG, on aura ^-f-^==siu 2 0; soit ensuitejr==Z>sinôcos<p, 
on aura x = a sinGsincp. D’après ces équations, qui équivalent à 
l’équation de la surface, il faudra exprimer l’élément de l’aire en 
fonction des deux nouvelles variables ô et <p. Et d’abord pour 
avoir la valeur de dædj, Je différentie l’équation x ^=asinQ sia(p 
en supposant ô constant, j’ai dx= adq> cos<p sin 9 ; ensuite il faut 
avoir la valeur de dj, en supposant x constante; c’est ce que 
donnera l’équation ~ -f- ^ = sin 2 c), d’où l’on Iirejv^==& a <i0sin()cos0; 
donc dxdj = ahd$d§sin0cos0. 
Substituant cette valeur ainsi que celles de x et y dans l’ex 
pression de l’aire S ; faisant de plus, pour abréger -■ — — cT 5 
h z — c a 
■—-p— = 6, on aura 
S = ffabdÿdü sinGy/Ti — (cT sin a <p -f- g cos 2 p) sin* 0]. 
L’intégrale, par rapport à ô, est facile à trouver par logarithmes; 
mais comme la formule qui en résulterait pour la seconde inté 
gration , n’est pas du nombre de celles qu’on sait ramener aux 
fonctions connues, nous nous contenterons d’intégrer par séries. 
Soit donc cT sin 2 tp -f- g cos 2 ip =/?, on aura, en développant le 
radical, 
S —ffabdqdü sin 0 ^1—^ /7sîn £ Q— ~ yo*sin 4 0— >» s sm 6 0 — etc.^). 
Or en intégrant depuis Ô = o jusqu’à G = ^tT, on a 
/ù0 sin Ô = 1 , fd$ sin 3 6 = \ , /ùô sin 5 Q = etc. 
0 6.3* 
Donc il résulte de la première intégration ,