185 PREMIÈRE PARTIE.
Les projections des lignes de courbure de l’autre espèce, qui seront
des hyperboles, se détermineront semblablement en prenant pour
demi-axes de chaque hyperbole, les coordonnées et', d’un même
point de l’ellipse auxiliaire , lesquelles doivent satisfaire à l’équation
C" = pC A’
Les projections des lignes de courbure de la première espèce
seront donc les ellipses tracées d’après l’équation
J' — % (V—x*) = (a* — x*) (i —
en donnant à et toutes les valeurs depuis et = A jusqu’à et = a.
Et les projections des lignes de courbure de la seconde espèce
seront toutes les hyperboles décrites d’après l’équation
en donnant à et toutes les valeurs depuis a' = o jusqu’à a'=A.
Considérons plus particulièrement les ellipses qui sont les projec
tions des lignes de courbure de la première espèce.
Lorsqu’on fait et = A, on a £ = Ojj = o, de sorte que l’ellipse
est infiniment étroite, et se réduit à son grand axe. A mesure que
le demi-axe et augmente, Eautre demi-axe C augmente aussi; et enfin
lorsqu’on fait a= a, l’ellipse de projection se confond avec la base
de l’ellipsoïde, ce qui est le dernier terme des projections.
(i3a). Cela posé, cherchons l’aire de l’ellipsoïde qui répond
à l’élément de la base dxdy, compris entre deux ellipses de pro
jection infiniment proches. L’une de ces ellipses ayant pour équa-
tion [et*—x 2 ) , on pourra faire x—et sin 4 , ce qui donnera
j C cos 4* Différentîant x en supposant et constante, on aura
dx~ad\> cos 4; si on passe ensuite de cette ellipse à l’ellipse infi
niment voisine , il faudra différentiel' l’équation
en faisant varier et seul, ce qui donnera ydy = — ctdet ( i
A*x‘\
i4 4 ) 3