DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
Multipliant par jdj et intégrant de nouveau , on aura 
r-rVr-,..£pÇL + ‘LpijL i 
ou, ce qui revient au même, 
r = t C 1 /nr- + 1 > R +, /1 (’-%■)■ 
i 9 5 
Soit maintenant yy/£ = sin 4 et A* = î == ^ on aura 
dy l d^ 
B. * UC 1 —/i a sin 2 4) 3 e 
/f (— Ar*)“$>(*. 4.)H-*?® (*,+)• 
Il reste à faire dans ces expressionsy=. i, ce qui donnera sin 4=^^ 
cos 4 =v/( 1 —cT) R= /(l — cT). v/(i — 6) = ^; donc 
la valeur cherchée 
r-5 + Ê^F(*,4) 
sin*^ 
2 ab 1 2 sin 4- 
d’où résulte enfin l’aire de l’ellipsoïde 
2 3in 
8S = 27TC 3 + [cos a 4 F(A, 4 ) -f- sin a 4 E (A-, 4 )] ; 
et on voit que cette formule s’accorde entièrement avec celle que 
nous avons trouvée par la seconde méthode, puisque les quantités 
A et 4 lle diffèrent pas de celles qui ont été désignées ci-dessus par 
h' et v. 
Nous remarquerons enfin qu’on peut déterminer généralement 
Faire d’un quadrilatère quelconque compris entre deux lignes de 
courbure d’une espèce , et deux lignes de courbure de l’autre espèce. 
Il suffit pour cela de substituer dans la formule 
S =4 PM — ABQN, 
les valeurs des intégrales M, N, P, Q, prises entre les limites don 
nées. 11 faudra donc prendre les deux intégrales M, N entre les deux 
valeurs de 4 qui répondent aux côtés du quadrilatère dont les 
projections sont des hyperboles, elles deux intégrales P et Q entre 
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