PREMIÈRE PARTIE. 
réductions qu’ils présentent et qui peuvent jeter un nouveau jour sur 
l’usage des fonctions elliptiques. 
Supposons d’abord v positif, jx étant à volonté positif ou négatif, 
si on fait ÿ(i -f- vz*) = /, et a 5 = i, on aura pour première 
, Z* 4 
transformée 
zy* C yjy 
Qy. J (* 3 +J 3 ) V/(y— lÈ 
Cette intégrale peut se décomposer en deux autres ; soit pour cel 
effet, 
J (* a — A y +y 2 ) V(y 3 — O 
O = f y'fy . 
/ (a?-X- v 3 ^ \/( v 3 — i * 
J (^-f-y 3 ) v/cy—o * 
et on aura 
L’intégrale Q se trouve immédiatement; car si on met au lieu de/ 
sa valeur en fonction de z, on aura 
Ainsi la quantité Q est donnée par un arc de cercle si ¡x est positif. 
et par un logarithme si ¡x est négatif. Tout se réduit donc à trouver 
la valeur de l’autre intégrale P. 
Pour cela , soit / = i -f- on aura 
2 (l -f-x^dx 
2 (l 
J (x4+(a— a.) x*+ O v/(a*+ 3x a -}- 3 )* 
Cette intégrale dépend en général des fonctions elliptiques dont le 
Or* 4~ C a — A ) x!l + — a ~h O y0 e * ~h 3x a -f- 3 )* 
paramètre est imaginaire, et nous avons donné pour cet objet les 
formules nécessaires. Mais dans le cas de et = 2, l’intégrale P ne 
dépend que d’une fonction de troisième espèce dont le paramètre est 
réel, et c’est ce cas dont nous allons développer le calcul. 
Ayant donc fait et = 2 , ou vz=g/x, il s’agira de trouver l’intégrale