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DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 
Pour cela, soitr=t/3 et .r — rtang £<p; soit de plus c={ [/(2—\/5) 
;= sin i5°, on aura la transformée 
r 2 + cos <p \ 
1 — ~ sin 2 <p/ 7 
d’où l’on tire 
F + ^n (_i) + 6 - r /^ 
c?(p cos £ 
sin 2 <p) A 
Pour avoir cette dernière intégrale, soit p/(i—c 2 sin 2 <p) = u sin <p , 
la différentielle ^ co ^f deviendra ~—rz , et son intégrale 
(1 — i sm 2 p) A u 2 — ¿r 27 0 
sera il°g(|i±f-£) ; on a donc 
n(-J) + ilog(|±|^> 
On n’ajoute point de constante , parce que cette intégrale s’évanouit 
lorsque (p = o, valeur qui répond à celle de z =o. 
La valeur de P dépend donc de la fonction elliptique de troisième 
espèce II (—~ ) , et il faut examiner si, à raison du paramètre —\ 9 
cette fonction ne pourrait pas se réduire indéfiniment à une espèce 
inférieure. 
Ayant le module c = ; |/(a — ^/5 ) , et son complément 
h = i ^/(2 + {/5 ) , on voit immédiatement que le paramètre 
ns= — i se rapporte à la seconde forme du n° 5o, et qu’en faisant 
n— — 1 ~ b* sin 2 0 , on aura sin 2 6 = —= 4 — 2 V 5 , ou 
sinô= ^/3 — 1. Or cette valeur de sin 9 est celle qui, suivant l’ar 
ticle 24, satisfait à l’équation F (b, 6) = |F l (£). Donc la réduction 
de la fonction n (—~ ) est possible, et elle s’effectuera par la for 
mule du n° 102 qui donne 
s . WA(M)A(^) . 
è 3 sin 6 cos 0/ ^ 7 ' ¿ 3 sin 6 cos 6 sin ÿ cos 
Il s’agit donc de faire les substitutions dans cette formule; or la 
valeur connue de 0 donne ,. A ^^ = - , on a ensuite par les for- 
h a sm 0 cos 0 r 7 L 
mules du n° 5y, Y=x ¿ 2 sin 9 sin9 a (i -j-sinô), cos B t = 1 — sin B