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DES FONCTIONS ELLIPTIQUES, 
si l’on fait z s= ^ , on aura la transformée Q “ ¡7(7^^) ’ T 1 * devra 
être prise depuis u= i jusqu’à w = o ; en changeant son signe , 
l’intégrale devra être prise depuis u = o jusqu’à u = i ; et comme 
alors on peut mettre z à la place de u y il est clair que l’intégrale 
cherchée P rise depuis z = o jusqu’à z = oo, sera égale 
à l’intégrale T = J', prise depuis z = o jusqu’à z== i. 
Soit i -f- z 4 =/?z% on aura y/( i -J- z 8 ) = z* \Z{p % — 2 ) , et par 
conséquent T = J'mais l’équation 1 -f- z 4 = /?z a donne 
1— z % — z\/{p~~ 2), r— ~ N ^ 
donc on aura 
T /V(p —2). UCp 2 — 2 )’ 
cette intégrale étant prise depuis p = 2 jusqu’à /7 = 00. 
Soit = 2 + on aura la nouvelle transformée 
d? 1 
y'Cp— 2 )* —+& — 
i dp 
VT P— 3 )* 
^ /'uI(ç a + 2 -t- U 2 ) (9 a + 2 — U 2 )! * 
qui devra être prise depuis q— o jusqu’à y = 00. Soit m*=2-j~[/2 , 
q = m cot <p et c a z= 2 [/ 2 — 2 , on aura l’intégrale indéfinie 
= et rinté 8 rale complète 
T 1 = — F'(c) : donc enfin la valeur de la transcendante cherchée 
m v ' 
sera 
(i) = a-4F* (c). 
On a vu d’ailleurs ( n° 64 ) que pour cette valeur du module c 
à laquelle répond le module complémentaire b=\/2 — 1 = tang ~ , 
on a F 1 (c) = [/2F'(b). Ainsi la transcendante ^ qj s’exprime éga 
lement par F 1 (c) , ou par 2* F l (b) = 2^F' ^tang