DES INTÉGRALES EULÉRIENNES. 261 
Il résulte d’abord du théorème précédent qu'on a 
Z'=ZT. 
Différenliant cette équation par rapport a p , et observant qu’on a 
dZ 
dp 
; — Z', 
dZ' 
dp 
rj 11 dT 
— T', on aura Z'^Z'T-f-ZT', ou 
Z"=Z(T 2 -f-T'). 
Celle-ci étant différenliée de nouveau par rapport à p , donne 
Z W =Z(T 3 + STT'-f-T") , 
et ainsi de suite , la loi de ces expressions étant analogue à celle des 
différentielles successives de la formule ue^ lLclp . 
Si l’on veut donc avoir les valeurs des quantités Z/, Z', Z", etc. , 
ou simplement leur rapport à la fonction primitive Z, il faudra con 
naître les quantités T, T', T% etc. en pareil nombre. Mais comme 
celles-ci sont rationnelles, et contiennent des puissances moins éle 
vées delog on voit qu’au moins la difficulté est diminuée. 
(4o). Si l’on intègre la différentielle x m+cl '~ 1 dx, depuis x = o jus 
qu’à x = 1 j on aura 
fx m +*~'dx 
i 1 i 
m nd ' rrd 
'— zi + etc. 
m-{-a m m 2 1 m? nd 
Si on met la même différentielle sous la forme x m ~'dx.x* 3 ou 
x n -'dx (i + alog ¡~log a ^ + 77~3 lo S 3 - x + etc.), 
son intégrale prise entre les mêmes limites, sera 
fx^'dx-^- clfx m ~'dx log .r-f- —~^Jx m ~ l dx log a x + etc. 
L’identité de ces deux formules exige donc qu’on ait 
fx m ~ l dx = — 
fx m ~ l dx log (£) 
fx m ~'dx log* 
fx m ~'dx log 3 
i. a 
nd 
1.2.3 
m*