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et en général
SECONDE PARTIE,
1.2.3....n
fx m ~'dx log" =
(§')•
(4i). A l’aide de celte formule on peut exprimer les quantités
T', T", etc., par des séries régulières, composées des puissances
réciproques des nombres pris à des intervalles égaux dans la suite
des nombres naturels.
Ainsi en développant d’abord la différentielle qu’il faut intégrer
pour avoir T', on a
s*j i 1 f x?~ l -f■xP*’ 1 - 1 -\-xP+ 2n - 1 -4- etc. 1
T- fàoc log - |— x p-h-i — x p+ q +n-i — X f+ 1 + an -1 — etc ./ f
et effectuant l’intégration entre les limites o, x = 1, il vient
1 . 1
0 + 2 'O 2
etc.
(p -h q T (p+? + ")* (p-hq + a**)*
Désignons en général par (a, n) m , la somme de la suite
1 . 1
etc.
l +
a m ‘ ( a -f- n y
+
+
etc..
(!>')
(a-\~Q.ny n 1 (a-f-3rc)"
laquelle deviendra (1, n) m , (2,«)"*, (3, w)”, etc., selon qu’on fera
a-=z 1, 2, 5, etc.,« étant constant ; on aura suivant cette notation,
T' = (p,ny — (p+</,n)‘
;T'= (p,ny-(p+</,n) s
^ ^ f ^
2g T'= (/>,«)*- (/> + ?,«) 4 (
etc.
(42). Il faut observer que n et m restant les mêmes, on n’aura
besoin de considérer les valeurs de (a, n) m , que depuisa= 1 jusqu’à
a — n; car il est visible , par exemple, que (« -f-i, n) m se réduit à
Çi 9 ri) m —~i 9 et qu’en général on a
(«4- n, «)“ = (a, n) m ~~ (F)
Par suite de cette formule , on aurait de même
(a + 2n, «)-== (a, n y — X — (a ^ n --p.