DES INTÉGRALES EULÉRIENNES.
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fe— tm t n dt, prises depuis t=-o jusqu’à i= oo, peuvent être ramenées
aux fonctions E (a). En effet, soit d’abord i n+1 = s, et ~~ = a,
l’intégrale précédente deviendracelle-ci devant
encore être prise depuis z~o jusqu’à z = oo .
De là on voit que l’intégrale proposée ne perd pas de sa géné
ralité en faisant k=o, et qu’ainsi on peut se proposer simplement
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l’intégralefe~ tm dt. Si dans celle-ci on fait e~ l ' n =x } ou t—Çlog
i ,
la transformée sera ^J'dxQog , et cette nouvelle intégrale
devra être prise depuis x ;= o jusqu’à x = i ; on aura donc géné
ralement
Ainsi les intégrales dont il s’agit n’offrent point une nouvelle
espèce de transcendantes, et se rapportent aux fonctions F.
Il n’est pas inutile pour l’histoire de la science, d’observer que
d’Euler , imprimé dans le tom. XVI des Novi Comm. Petrop. , avait
été donnée long-temps auparavant par le même auteur, dans le
tom. Y des anciens Mémoires de Pétersbourg , pag. 44* C’est donc
à cette époque que remonte la découverte de l’inlegrale fe dx
= 4 , prise entre les limites x=o , x = co , puisque la simple
substitution e " = z suffit pour ramener l’intégrale fe dx h la
forme jfdz (log £)— i.
FIN DE LA SECONDE PARTIE.
