DES QUADRATURES. S09 
fonction y reste constamment de même signe, et nous regarderons 
ce signe comme positif. S’il en était autrement, on chercherait suc 
cessivement les différentes parties de faire fjrdx, situées de différons 
côtés de la ligne des abscisses, et on retrancherait la somme des 
aires négatives de la somme des aires positives. 
2°. Que la courbure de la courbe, depuis x — o jusqu’àx=a, 
n’éprouve aucune variation assez brusque pour que l’un des coeffi- 
ciens ^, iXi devienne infini. Ainsi dans toute l’étendue de 
dx 7 dx 1 J dx 5 
la portion de courbe que nous voulons quarrer , l’ordonnée qui 
répond à une abscisse x -f- et, très-peu différente de x, pourra 
s’exprimer avec une exactitude suffisante par la suite jr -f- a. ^ 
dx 
üd ddy et' 
, „ . -f- etc., sans qu’il y ait lieu a exception pour au- 
2 ax 2 -O ax 
cun point. Cette condition est surtout nécessaire aux deux limites de 
l’intégrale ; elle est moins importante dans les points intermédiaires, 
parce que l’erreur due à cette cause est limitée, et qu’elle peut être 
corrigée assez facilement, comme on le verra ci-après. 
Cela posé, soit j= F(¿c), et x = ?ico,n étant un nombre entier 
d’autant plus grand, qu’on voudra obtenir une plus grande ap 
proximation ; si l’on désigne par 2F ( x -|- ± ) la somme de la 
suite 
Î’(» + F(|a) + F(|c») + F.(x — i»), 
il est visible qu’on aura d’abord à très-peu près Z = &2F (ar-f- ï"). 
Pour avoir une valeur plus exacte, soit 
Z = »2F (« + *«)+£, 
on aura en faisant varier aide co, et prenant les différences finies 
de chaque membre, 
= AZ — ça F {x-\- | où). 
Développant le second membre suivant le théorème de Taylor, et 
observant que ^ ==J = F (x), on aura 
2 dx 
ddF 
2.3’ dx a 
+ 
.1^ 
d 3 F 
-f- etc. 
— 00 F 
, i dF 
-T- 
2 dx 
2.3.4 ’ dx 3 
eu 3 1 ddF a>^ 1 d s F 
2*4* da; 2 2,3 ’ 8 dx 3 
etc.