DES QUADRATURES. 561 
On a donc aussi J* ~ sin ax cos bæ = ^ ou zéro , selon que a 
est plus grand ou plus petit que b ; car dans le premier cas on a 
J'— sin ax cos bx = iJ' C ~ si* 1 (a-\-b) x + \ s ^ 11 ( a — b) x 
E=^7r + i'7r = ^'7r, et dans le second on a J' ~ sin ax cos bx 
sin (a~i~b)x—f / > “SÍn(¿ — a) x = i7C--~i7r~ o. 
— eos ax , il est visible qu’elle est infinie. 
(4y). La formule (1) et les principales conséquences qui en ré 
sultent, sont dues à Laplace qui les a publiées dans le Bulletin de 
la Société philomatique (avril 1811). La démonstration qu’en donne 
cet illustre auteur est différente de celle que nous avons rapportée ; 
et comme elle est fondée sur un principe qui peut avoir d’autres 
applications, nous croyons qu’on sera bien aise de la trouver ici. 
Considérons la double intégrale 
Zi = f2jdye—y*( l + xi ) dx cos ax, 
et supposons qu’elle doive être prise depuis xz=o jusqu’à x 3= 00, 
et depuis jr = o jusqu’à./ == co. Si on intègre d’abord par rapport 
à r , on aura 
^ * - 
rj fax cos ax 
L ~~ J \-\- X X * 
c’est l’intégrale qu’il s’agit de trouver. 
Si on revient ensuite à la double intégrale, et qu’on veuille exécu 
ter l’intégration par rapport à x, il faudra chercher la valeur de 
/«- xy* dx cos ax. Or par une formule qui sera démontrée dans l’ar 
ticle suivant, on a Je— x * dx cos ax = \ {/rt.e * ; donc en mettant 
t xy au lieu de x 
fe~ xy 1 dx cos ax 
~ au lieu de a, et xy au lieu de x , on aura 
. «x- 
2 / 
Il reste donc à intégrer la formule 
Zi = [/rt/dye y ty 1 . 
Mais on démontrera ci-après (art. 5o) qu’entre les limites z = 0 et 
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