DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 55 
Le point M, extrémité de l’arc AM, est censé avoir pour ampli 
tude <p. Considérons deux autres points N et O dont les amplitudes 
soient 4 et où, et supposons qu’on ait l’équation F (<p)-f-F(4)—F(®)=o ; 
alors les arcs AM, AN, AO, désignés respectivement par T (cp), 
T (4) y T («) , auront entre eux cette relation 
T (<p) + T(4)— T (&)= A(4) tangp-f- A (4) tang4 — A (où) lang où 
— E (<p) — E (4) -f- E (cd) , 
ou , en mettant la valeur connue de E (<p) -f- E (4) — E («) , 
T (<p) -f- T (4) —• T (a>) = A (<p) tang<p + A (4) tang4—-A (où) lang« 
— C 2 sin (p sin 4 sin 
C’est l’équation fondamentale d’après laquelle on peut faire sur les 
arcs d’hyperbole les memes comparaisons que nous avons faites sur 
les arcs d’ellipse , mais en observant que dans l’hyperbole on ne 
peut donner aux amplitudes une valeur plus grande que ~ -rr, et que 
lorsque <p = y l’arc AM devient infini. 
La quantité A tang (p n’est autre chose que la tangente MZ, termi 
née par la perpendiculaire CZ abaissée du centre sur cette tangente. 
Ainsi A tang cp — T(<p) est l’excès de la tangente MZ sur l’arc 
AZ. Si on appelle G(<p) cette fonction, on aura pour chaque 
point M , 
G(<P)=B((P)-MF c<p), 
et lorsque les trois points M, N, O, déterminés par les amplitudes 
cp , 4 y 00 sont ücs entre eux par la relation F (<p)-f-F (4) — F («)=o, 
les fonctions correspondantes G (<p) , G (4) y G (où) relatives à l’hy 
perbole , satisferont à l’équation 
G (<p) -f- G (4) — G («) = c*sin <p sin 4 sin Où , 
équation entièrement semblable à celle qui a lieu dans l’ellipse, et 
d’où l’on déduira de semblables corollaires , sauf les restrictions par 
ticulières à l’hyperbole et dont nous avons déjà parlé. 
Nous avons trouvé que lorsqu’on fait sin 2 6 = A - , on a 
F (0 ) = t E 1 , et E ( 0 ) = i E* -f- j ( i —b), on aura donc sembla 
blement pour l’hyperbole, 
G (0) ==ïG'+|(i —b) ,