DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 55 
La variablex est susceptible de toutes les valeurs, depuis x = o 
jusqu’à x = oc ; mais comme en faisant ^ = 00, onaZ=r J* £ dx, 
pour nous débarrasser du terme qui peut devenir infini, nous con 
sidérerons simplement la formule 
x =/( 
if+g^)dx _ g , \ 
ÿC* a +aaCx a co8d + C a xt) Q 
qui par ce moyen aura toujours une valeur finie. 
Il s’agit maintenant de transformer cette expression de manière 
que les facteurs binômes de la quantité sous le radical deviennent 
réels. Pour cela on peut faire indifféremment l’une des quatre suppo 
sitions suivantes : 
\Z(cc*~{~ 2Ctgx* COS 0 + £*X 4 )z= 2XJ\/ctÇ y 
CL -f- Qx* = ÛXjr \/olQ , 
£x 2 -f- et COS 6 + V 7 ( 2CtÇ>X % COS 0 -f- &x 4 ) = 2CtJ a , 
*=rTjVf* 
et la transformée enjr aura les conditions requises. Bornons-nous 
à présenter le résultat de la troisième supposition : elle donne 
où l’on voit qu'en effet les deux facteurs de la quantité sous le ra 
dical sont réels. On voit aussi que la moindre valeur de j étant 
cos |ô, on peut faire/ = ce qui donnera la transformée 
suivante, où l’on a fait c = sin \ 0, 
X 
=/ 
ft- 
•go, 4- 
Cy/a£ 
dtp 
— c 2 sin 2 p) * 
et il faut remarquer que dans cette formule nous supposons \/u£ 
réel ; car si le terme 2<*£x a cos 9 était négatif, on ferait tomber le 
signe —< sur cos 0.