DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.
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I î
Formation d’une suite infinie de fonctions elliptiques de
la première espèce , liées entre elles par des rapports
constans.
(58). Jusqu’ici nous n’avons comparé entre elles les fonctions
elliptiques de la première espèce, qu’autant qu’elles avaient le même
module, ou qu’elles pouvaient être considérées comme représentant
différons arcs d’une même courbe ; ces comparaisons ont ensuite été
étendues, d’après le même principe, aux fonctions de la seconde
et de la troisième espèce ; et les théorèmes contenus dans les for
mules (/') et (g') supposent encore que le module est le même dans
les deux fonctions comparées.
Nous allons faire voir qu’on peut, par une loi très-simple , former
une infinité de fonctions elliptiques de première espèce, qui diffèrent
les unes des autres tant par le module que par l’amplitude, mais
qui ont la propriété fort remarquable d’être entre elles dans des
rapports constans.
détermine <p' d’après l’équation sin (2<p'—) := c sin , on aura
généralement
F («*',*') = ~ F (*.*)•
En effet l’équation supposée donne d’abord cos ( o.p'—■—. /\. a f ns j
on aura successivement :
cos 2<p' = A cos <p —< c sin 2 <p
2 cos® <p / = 1 — c sin 2 ip -f- A cos <p
2 sin® <p' = 1 -f- c sin a (p •— A cos Q
2 sin <p f cos <p f ï= sin <p (c cos p -j- A )
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