6 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
être e'value'es dans tous les cas avec presqu’autant de facilité que 
les arcs de cercle et les logarithmes. 
Réciproquement le nombre a pourra être regardé comme l’ex 
posant ou la racine de la fonction Va , et nous le désignerons de 
cette manière. 
(7}. Revenons maintenant à l’intégrale définie fx p ~ l dx (1—x) q ~ f , 
que nous avons représentée par (p, q). Cette intégrale est facile 
à déterminer lorsque l’un des deux nombres p et q est entier. 
Supposons que ce soit q, et faisons U = x p ( 1 — x) î_I , nous aurons 
par la différentiation, 
d\J = {p + q — i^x^'dx (1 —x) q ~ l — (q — 1 ) x p ~ l dx(i —x) q ~ 2 . 
Intégrant de part et d’autre depuis x = o jusqu’à x = 1, et obser 
vant que dans ces deux limites U est nul, puisqu’on suppose à la 
fois /? > o et <7> 1, on aura 
fx p ~ l dx (1 — x) q ~ l = fx p ~'dx ( 1 — ¿r) î-3 ; 
on aurait de la même manière 
fx p ~'dx ( 1 — x) q 3 = 9 _ ^fx p ~'dx f 1 — x) q ~ 3 , 
et ainsi successivement, jusqu’à ce qu’on parvienne à l’intégrale 
fx p ~'dx qui, dans les limites données, se réduit à Donc q étant 
P 
un nombre entier, on a généralement 
fx p ~'dx ( 1 — x) q 1 = 
q — i.q — 
p+q~~ i-p+q — 2 —p + i'p 
Mais dans la même hypothèse on a , par l’équation (1), 
T q ^ 1.2.5 q — I, 
F (q+p) = (<f-hp —O (ç + P —2) pTp ; 
donc la valeur de l’intégrale trouvée peut se mettre sous celle