QUATRIÈME PARTIE. SECTION II. 117 
Mais il faut démontrer que la formule précédente , trouvée pour 
le cas où ni est un entier impair, a lieu pour une valeur quel 
conque de m, 
(123). Quel que soit m, le sinus de l’arc //20 a pour expression 
c û m ^ 3 1 7n5fl5 » 
sm nvj = mv — 5 H 5-7-r — etc. 
1.2.0 1 1.2.0.4.5 
Mais l’arc 0 que nous pouvons supposer < \ tt , se développe de 
même en cette suite convergente 
sin 0 -f- 
2.3 
sm 
3 0 
,3.3 
2.3.4.5 
sin 5 0 
1.1.5.5.5.5 
2.3.4-5.6.y 
sin 7 0 -(- etc. 
Donc quel que soit ni, la valeur de —— peut se développer en 
une suite de la forme sin ô -f- A sin 3 0 + B sin 5 0 -f- etc., les coefïi- 
ciens A, B, G, etc. étant des fonctions de m qu’il s’agit de 
déterminer. 
Pour cet effet, soit sin 0 = x , et 
----- = x -j- Ax 3 -f- B.%‘ 5 -f- Cx 7 -f- etc. : 
Tfl 
on aura en différentiant de part et d’autre par rapport à 0, et met 
tant au lieu de ^ sa valeur cos 0, 
cos w0 = cos 0 ( 1 —3Ax a -+- 5Bjc 4 + yCjr® -f- etc.) : 
différentiant de nouveau par rapport à 9, il vient 
m sin /720 = ( 1—2.5A ) x -|-(5 2 A—4*5B ).x 3 -|-(5 2 B—6. yG )o: 5 -}-elc. 
Égalant le second membre terme à terme à la valeur du premier 
qui est 
nfx + nfAx 3 -f- //2 2 Ba: 5 -f- etc., 
on en tire 
A = 
B 
A (9 — m z ) 
4.5 
B ( 25 — m 2 ) 
6T7 : 
etc. 
2.5