i88 EXERCICES DE CALCUL INTÉGRAL. 
47. En general, soit Z = ffrqüfclsÂ-ff» ’ le de ' velo PP ement 
en série donne 
—^ = z m— *—2z m costf+-2z ro4 ' , cos2a— 2z M+ *cos3a + etc. ; 
1-i-sz cosa+z 2 
multipliant par f dz et intégrant depuis z = o jusqu’à s=i, il 
viendra 
771 
m + 1 
COS 2a COS 3flT , 
—T— -7« + etc. 
771+2 m + o 
/ e «^ _j_ e - 
— 
o _ 
X 
xdx 
ni 2 -f- •£ ,: 
; mais elle n’est pas assez convergente pour servir au 
calcul numérique de celte intégrale ; et nous remarquerons seule 
ment qu’elle a la propriété d’être sommable par arcs de cercle et 
par logarithmes, toutes les fois que m sera un nombre rationnel. 
On déduit des formules de l’art. 14> $ 1? une autre valeur de 
Z , laquelle est 
= -î-( 
2 sm a \ 
2 sint 
OU 
nn a \ m. 
771 + 2 
' sin a 
sin 2a 
f 
sin 3a 
, rn 
771+ 1 
1 
771 + 2 
sin a 
sin 2a 
-1- 
sin 3a 
771 + 2 
771 + 3 
1 
771 + 4 
sin 
2 a 
sin 
771+ 1 . 
771 + 3 
771 + 2. 
— etc.) 
— etc.). 
Cette formule est plus convergente dans les premiers termes que 
la précédente 5 mais elle ne peut donner encore qu’une approxi 
mation assez bornée, parce que le rapport de deux coefficiens con 
sécutifs tend de plus en plus vers l’unité. 
Au reste l’identité des deux expressions est focile à démontrer 
immédiatement ; car si on multiplie par sin à la suite 
1 cos a , cos 2a cos 3a . 
— — — = -f- etc. . 
2771 7/1+ 1 771+ 2 771 + 3 ' * 
le produit sera 
sin a j sin 2a , sin 3a — sin a , sin 4« — sin 2a , 
2771 a '77l+I ' a * »71 + 2 a ’ 771+3