QUATRIÈME PARTIE. SECTION 1. IQ 
veaux théorèmes , qui serviront à perfectionner et même à com 
pléter entièrement la théorie des fonctions T. 
Soit, pour abréger, f(x) la fonction qui forme le second 
membre de l’équation ( 12 ); si l’on met 2x à la place de x } on 
aura 
/ O) -i[¿+ (nbr* + (TRI + (TP7 + id*r + etc ] ; 
dans la suite renfermée en parenthèses, les termes de rang impair 
ont pour somme f(x) , et les termes de rang pair ont pour somme 
/CH- x). Ainsi on a 
/(2X) = \f{x) + ; 
or l’équation (12) donne/O) = = 
f{2x) =. ; substituant ces valeurs, il vient 
ddlr (qx) ddlVx , ¿¿/r(i-f-x) 
dx a dx % ' dx* 9 
multipliant par dx et intégrant, on a 
dlr (sx) dlrX , d l r ( i -f- je) , 
¿x * àx * Sx ' fiÉ "’ 
Multipliant encore par dx et intégrant, il vient 
log F (2^) = log Tx -f- log F ( i + a: ) + etx 4- £ , 
ou, en passant des logarithmes aux nombres , 
TrF ( 7 x) = Ae-«* T (2x). 
Il reste à déterminer les deux constantes A, a, introduites par 
l’intégration. Pour cela, soit x infiniment petit, on aura Fx= - 
et F (2x) = ~ • donc A == 2F Soit ensuite x = |, on aura 
Ae =F j, donc e a *= 2 ; donc l’équation générale est 
FxF ( 1 -f- J? ) = F (2<r). 2 1 “ 2 * F 
ddlF (|-f- x) 
dx %